相交线与平行线提高题

【例题】如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，且OM平分∠NOC．若∠BOC=4∠NOB，求∠MON的度数．【分析】遇到类似“∠BOC=4∠NOB”这样条件，常设∠NOB=2x，∠BOC=8x（目的为了计算和书写方便，也为了更好理解，是常法——强烈建议），则有∠CON＝6x，再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到∠MON=0.5∠CON=3x，∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°，求出x的值，进一步即可得∠MON的度数．【解】设∠NOB=2x，∠BOC=8x，则∠CON=∠COB﹣∠BON=8x﹣2x=6x.∵OM平分∠CON，∴∠MON=0.5∠CON=3x，∵OM⊥AB，∴∠AOM=90°，∴∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°，解得x=180，∴∠MON=3x=3×18°=54°，即∠MON的度数为54°．【点评】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，同时务必要注意解题规范，几何书写入门必须严格掌握【练习】如图，已知AB、CD相交于点O，OB平分∠COE，OF⊥AB于O，（1）若∠EOF=120°，求∠AOD的度数；（2）若∠BOE=1/4∠EOF，求∠DOE的度数【解】（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°又∵∠EOF=120°∴∠BOE=∠EOF﹣∠BOF=30°∵OB平分∠COE∴∠BOC=∠BOE=30°∵∠AOD=∠BOC∴∠BOC=30°；（2）设∠BOE＝x,则∠EOF=4x∵∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=4x－x=3x.∵∠BOF=90°，∴3x=90°，解得:x=30°∵OB平分∠COE，∴∠COE=2∠BOE=2x=60°∴∠DOE=180°﹣∠COE=120°．【例题】如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，(1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；(2)若∠AOE=α，求∠BOD的度数(用含α的式子表示)；(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（邻补角的定义），∴∠AOF=180°－∠AOE，＝1800－400＝140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=0.5∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；（2）∵∠AOE+∠AOF=180°，（邻补角的定义）∴∠AOF=180°－∠AOE=180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣0.5α，∴∠EOD=∠FOC=90°﹣0.5α（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=0.5α；（3）从（1）（2）的结果中不难观察出：∠AOE=2∠BOD．【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门书写必须严格规范.【练习】O为直线DA上一点，OB⊥OF，EO是∠AOB的平分线．（1）如图（1），若∠AOB=130°，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB=α，90°＜α＜180°，求∠EOF的度数；（3）若∠AOB=α，0°＜α＜90°，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中∠EOF的结果仍然成立．【解答过程】（1）∵EO是∠AOB的平分线，∠AOB=130°，∴∠AOE＝0.5∠AOB＝650.∵OB⊥OF，∴∠BOF=90°，∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF=130°﹣90°=40°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=65°﹣40°=25°；（2）∵∠AOB=α，90°＜α＜180°，EO是∠AOB的平分线，∴∠AOE=0.5∠AOB＝0.5α，∵∠BOF=90°，∴∠AOF=α﹣90°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=0.5α﹣（α﹣90°）=900－0.5α；（3）如下图示，∵∠AOB=α，0°＜α＜90°，∴∠BOE=∠AOE=0.5α，∵∠BOF=90°，∴∠EOF=∠BOF﹣∠BOE=900－0.5α．【试题】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件：内错角∠2和∠E相等.证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠CFE∵∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【点评】本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用．【拓展】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CEF=∠F．求证：AD∥BC．【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件：内错角∠2和∠E相等.证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠CFE∵∠CEF=∠F，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【反思】注意体会拓展与原题(试题内容和解答过程)的区别与联系，再结合图形思考，展开想象，探寻动与静的规律与联系.【例题】已知：如图，点B在直线AC上，BE和AD交于F点，∠A=∠ADE，∠C=∠E．（1）若∠EDC=3∠C，求∠C的度数．（2）求证：BE∥CD．（1）∵∠A=∠ADE，∴AC∥DE，∴∠EDC+∠C=180°，又∵∠EDC=3∠C，∴4∠C=180°，即∠C=45°；（2）∵AC∥DE，∴∠E=∠ABE，又∵∠C=∠E，∴∠C=∠ABE，∴BE∥CD．【反思】(1)要能回答出上面每一步推理的根据，特别要注意逻辑顺序.(2)本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时应注意判定与性质的区别，不可用错．【拓展】已知：如图，点B在直线AC上，BE和AD交于F点，∠A=∠ADE，∠DCB=∠DEB．（1）若∠DCB=3∠EDC，求∠DCB的度数．（2）求证：BE∥CD．【例题】如图，D、E在△ABC的边AB上，F点在边BC上，已知∠AGD=∠ACB，∠1=∠2．求证：CD∥EF．【拓展1】如图，D、E在△ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，已知∠AGD=∠ACB，∠1=∠2．求证：CD∥EF．【拓展2】如图，D、E在△ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，已知∠AGD=∠ACB，∠1=∠2．求证：CD∥EF．【拓展3】如图，D、E在△ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，已知∠AGD=∠ACB，∠1=∠2．求证：CD∥EF【例题】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知∠A=∠F，∠C=∠D，求证BD∥CE．【拓展1】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知∠A=∠AFD，∠C=∠D，求证BD∥CE．【拓展2】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知∠CAF=∠F，∠C=∠D，求证BD∥CE．【拓展2】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知∠CAF=∠AFD，∠C=∠D，求证BD∥CE．【例题】如图，直线a∥b，AC⊥BC，∠2=55°，求∠1的度数．【分析】∠1与∠2均不是“三线八角”的角，因此通过a∥b，想方设法构造“三线八角”，建立∠1、∠2及∠ACB之间的联系，从而求出∠2的度数.法一：如下图示，法二：（图解）如下图示，【反思与拓展】【拓展1】如图，直线a∥b，AC⊥BC，∠2=55°，求∠1的度数．（不可用“三角形内角和定理”）【拓展2】如图，直线a∥b，AC⊥BC，∠2=55°，求∠1的度数．8.【例题】已知，如图，DE⊥AC于E，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．理由：∵∠AGF=∠ABC，∴BC∥GF∴∠1=∠3；又∵∠1+∠2=180°，∴∠2+∠3=180°，∴BF∥DE；∴∠AFB＝∠AED∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°∴∠AFB＝90°∴BF⊥AC．【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，并正确运用平行线的判定和性质是正确答题的关键．解题时要注意几何语言书写格式与过程，同时要注意思路与正确解答之间的关系.【拓展1】已知，如图，DE⊥AC于E，∠AGF=∠ABC，∠1＝∠2，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．【拓展2】已知，如图，DE⊥AC于E，∠AGF=∠ABC，∠1＝∠2，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．【拓展3】已知，如图，DE⊥AC于E，∠AGF=∠ABC，∠BDE＝∠BFC，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．【例题】如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．【拓展1】如图，CD∥AB，∠DCB=30°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；（2）若∠CEF=110°，求∠ACB的度数．【拓展2】如图，CD∥AB，∠DCB=80°，∠CBF=20°，∠EFB=80°，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．【试题】如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，求证：DE∥BC．【拓展1】如图，已知∠1＝∠2，∠DBF=∠DEF，求证：DE∥BC．【拓展2】如图，已知∠1＝∠2，∠4+∠DEF＝1800，求证：DE∥BC．【例题】如图，AB∥CD，∠ABE=70°，∠DCE=144°，求∠BEC的度数．【分析】图中虽有AB∥CD，但无法直接得到“三线八角”，因此必须添加“辅助线”，将已知和所求的角进行联系，想方设法构造出“三线八角”的基本图形，然后根据平行线的性质和判定进行转化.方法有多种：分别说明如下：法一：过E点往右侧作EF∥CD，如下图示：法二：过E点往左侧作EF∥CD，如下图示：法三：过B点作BF∥CD，交DC的延长线于F，如下图示：法四：过C点作CF∥BE交AB的延长线于F，如下图示：【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，利用已有的平行线，再构造“三线八角”是解题的关键，当然如果学了三角形（或多边形）的内角和，则解法就更多了：只要能得到“三线八角”均可得解．【拓展1】如图，AB∥CD，∠ABE=70°，∠DCE=54°，求∠BEC的度数【拓展2】如图，AB∥CD，∠ABE=35°，∠DCE=110°，求∠BEC的度数．【拓展3】如图，AB∥CD，∠ABE=40°，∠DCE=20°，求∠BEC的度数．【试题】已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．（2）如图2中，∠ABM=1/3∠ABF，∠CDM=1/3∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM=1/n∠ABF，∠CDM=1/n∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m°的代数式表示写出∠M=．【解析】（1）首先先求出∠ABE+∠CDE的度数，方法均有4种，下面仅提供一种解法：如下图示，过E点作EG∥CD，因AB∥CD，所以AB∥EG∥CD，得到∠ABE+∠2＝1800，∠CDE+∠1＝1800，从而∠ABE+(∠1+∠2)+∠CDE＝3600，而∠BED＝∠1+∠2＝800，所以∠ABE+∠CDE＝2800.再求∠3+∠4的度数，因BF和DF分别平分∠ABE和∠CDE，所以有∠3+∠4＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5（∠ABE+∠CDE）＝1400.类似上述思路，可求得∠BFD＝∠5+∠6＝∠3+∠4＝1400.如下图示：（2）如下图示：类似前面分析，可得到：∠ABE+∠CDE＝3600－∠E，∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5（∠ABE+∠CDE）＝…＝1800－0.5∠E，进一步，得到：∠3+∠4＝1/3∠A