初中数学竞赛——圆1.圆的基本性质

初二数学超前班八年级1思维的发掘能力的飞跃第1讲圆的基本性质知识总结归纳一．圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O⊙”，读作“圆O”。（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．二．弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以AB、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．三．垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．四．圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相初二数学超前班八年级2思维的发掘能力的飞跃等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．五．直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点．dr直线l与O⊙相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．dr直线l与O⊙相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．dr直线l与O⊙相交六.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．七.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。典型例题一.垂径定理及圆的对称性【例1】如图所示，在与三角形所组成的图形中，，求证:．【例2】如图所示，同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，试证明：．lOdrlOdrlOdrO⊙OAOBACBDDCBAOABCDACBDODCBA初二数学超前班八年级3思维的发掘能力的飞跃【例3】如图，矩形与圆心在上的交于点，，，，则_______．【例4】如图所示，在RtABC△中90C，，，若以为圆心、的长为半径的圆交于，则_______．【例5】如图，已知的半径是，点到圆心的距离为，求过点的所有弦中最短弦的长度．【例6】如图，在O⊙的直径上取一点，过作两条弦、，若，求证：．ABCDABO⊙GBFE、、、8cmGB1cmAG2cmDEEFOGFEDCBA2AC1BCCCBABPAPPCBAO⊙5AO3AAOPQMMABCDPMAPMCMDMBBDQPOCAM初二数学超前班八年级4思维的发掘能力的飞跃二.圆心角和圆周角【例7】如图，是ABC△的外接圆，已知50ABO，则的大小为_______．【例8】已知：如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是_______．【例9】如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是7040、，则的度数为_______．【例10】如图，是的直径，是的弦．若23BAD，则的大小为_______．O⊙ACBOCBAABCDO⊙PCDCBPCPODCBAAB、1O1BAABO⊙CDO⊙ACDODCBA初二数学超前班八年级5思维的发掘能力的飞跃【例11】如图，已知30APC，弧BD的度数为30，求弧AC和的度数【例12】已知如图，ACD△的外角平分线交其外接圆于，连接、，求证：．【例13】如图，锐角ABC△内接于圆，6036ABCBAC，，作交劣弧AB于点，连结，求．【例14】如图，是的直径，点，，都在上，若，求．AECPEDCBACBBBABDBABDNDCBAOOEABEECOECABO⊙CDEO⊙CDE∠∠∠AB∠∠OEDCBAOBCEA初二数学超前班八年级6思维的发掘能力的飞跃【例15】过上一点作弦MAMBMC，，，使，如图，过点作于，于，求证：．【例16】已知点、、顺次在圆上，弧ABBD弧，于，求证：AMDCCM．三.直线与圆相切【例17】如图，ABC△为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，求证：与相切．【例18】如图所示在RtABC△中，90B，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．求证：（1）是的切线；（2）．O⊙MAMBBMCBBEMAEBFMCFAECFABCMEFOOFEMCBAABCOBMACMABACOBCO⊙ABDACO⊙ODCBAABCDEABDEDCDDBACD⊙ABEBACEDCBAOCDABM初二数学超前班八年级7思维的发掘能力的飞跃【例19】如图，已知以直角梯形中，以为直径的圆与相切，求证：以为直径的圆与相切．【例20】已知：如图，是的直径，为上一点，过点，于，平分．求证：为的切线．【例21】如图，分别切O⊙于、两点，满，且，，求．【例22】如图，O⊙与直角ABC△的斜边相切于，与直角边相交于点，且DEBC∥．已知，，，求⊙的半径．ABCDABCDCDABODCBAABO⊙CO⊙MNCADMNDACDABMNO⊙OBADCNMPAABPCABPBACPCABPCACPBAPPC2PABBPCACBABDACE22AE32AC6BCOBCAPOOECBDA初二数学超前班八年级8思维的发掘能力的飞跃【例23】如图，在ABCD□中，过、、三点的圆交于点，且与相切，若，，求的长．思维飞跃【例24】如图，O⊙的直径为，是直径上一点，是过的一条弦，，过、分别作于点，于点，求与的长度之差．【例25】如图，为外一点，过点引两条割线和，点分别是弧ABCD，弧的中点，连结交，与．求证：PEF△为等腰三角形．ABCADECD4AB5BEDEAB20cmGABCDG16cmCDABAECDEBFCDFAEBFPO⊙PPABPCDMN，MNABCDEF，OPNMFEDCBAOAFEBCGDEDCBA初二数学超前班八年级9思维的发掘能力的飞跃【例26】如图，在半径为的⊙中，引两条互相垂直的直径和，在上取点，弦交于，弦交于，试证：四边形的面积为．【例27】如图，已知是O⊙的直径，是O⊙的切线，平行于弦．过点作于点，连结与交于点，问与是否相等？证明你的结论．【例28】若圆内接四边形的对角线互相垂直，求证：（1）过对角线交点且平分一边的直线必垂直于这边的对边；（2）从外接圆圆心到一边的距离等于这边对边的一半．1OAEBFEFCACBFPCBAEQAPQB1ABBCOCADDDEABEACDEPEPFDOQPCEBAFOPEDMCB初二数学超前班八年级10思维的发掘能力的飞跃作业1.如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上．（1）若52AOD，求的度数；（2）若，，求的长．2.如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接．（1）求证：．（2）若，求的直径．3.如图，已知ABC△内接于O⊙，弦，是直径，是弧AB的中点，求证：（1）平分；（2）弧AN弧BM．4.如图，是的直径，且，弦的长为，若弦的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点到的距离分别为，则等于()A．B．C．D．ABO⊙ODABCO⊙DEO⊙DEB3OC5OAABOEDCBAABO⊙CDABCDEACOCBC、、ACOBCD8cm24cmEBCD，O⊙OEDCBACMABCNFCFNCMABO⊙10ABMN8MNABAB、MN12hh，12hh5678ABEFMNOh1h2NFMBACO初二数学超前班八年级11思维的发掘能力的飞跃5.如图，过的直径上两点，分别作弦，若．求证：（1）弧BEC弧ADF；（2）．6.如下图所示，以RtABC△的直角边为直径作半圆，交斜边于，交于，求证：是的切线；7.如图，切于点，直线交于点，弦，求证：．8.已知：如图，在ABC△中，，以为直径的半圆与边相交于点，切线，垂足为点．求证：（1）是等边三角形；（2）．O⊙ABMN，CDEF，CDEFACBF，∥AMBNOFDECMBNABCODOEAC∥ABEDEO⊙OEDCBAMPO⊙MOPO⊙AB、ACMP∥MOBC∥MPOCBAABACBCOABDDEACEABC13AECEEACOB初二数学超前班八年级12思维的发掘能力的飞跃9.如图，已知ABC△是O⊙的内接三角形，O⊙的直径交于，于，延长交于，求证：．10.如图，延长O⊙的半径到，使得，是圆的一条切线，是切点，是在上的射影．求证：．11.如图，已知圆内接ABC△，ABAC＞，为弧BAC的中点，求证：．BDACEAFBDFAFBCG2ABBGBCOABOAABDTTCBDT13ACBCAOD22BDADABACOGFECDBAOABDCTCBAD