初中数学竞赛辅导资料53

初中数学竞赛辅导资料（53）条件等式的证明甲内容提要1.恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.例如：①a+b=b+a，②(a+b)2=a2+2ab+b2，③x－x4=xx42(x≠0)，④(a)2=a(在实数范围内a≥0)，⑤nna=a(在实数范围内n为正奇数).都是恒等式.只含常数的等式是恒等式的特例.如：3－2=1，32321.2.条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式.方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).3.证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式.4.证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外，要特别注意如何把已知的条件用上.一般有以下几种：①用已知的条件直接代入(即等量代换).②变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形).③引入参数后代入(包括换元).5.分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变.乙例题例1.已知：azyx,bxzy,cyxz且x+y+z≠0.求证：1111ccbbaa.分析：①设法化为同分母，②轮换式可先代入一式，其余的可用同型式③用已知直接代入.证明：∵zyxxzyxzyxaa11.根据轮换式的性质，得∴ccbbaa111=1zyxzzyxyzyxx.例2.已知：cbacba1111.求证：12121212)(1111nnnncbacba(n是整数).分析：先把已知变形，找出a,b,c之间的关系.证明：由已知，去分母，得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0.(a+b)(b+c)(c+a)=0.∴a=－b，或b=－c，或c=－a.∵n是整数，∴2n+1是奇数.当a=－b时，左边=12121212111)(1nnnnccbb；右边=12)(1ncbb=121nc.即a=－b时，等式成立.同理可证：当b=－c和c=－a时，等式也成立.∴12121212)(1111nnnncbacba(n为整数).例3.已知：ax3=by3=cz3,1111zyx.求证：3222czbyax333cba.证明：设ax3=by3=cz3=k.(引入参数)那么ax2=xk,by2=yk,cz2=zk.代入左边，得：左边=333)111(kzyxkzkykxk；而且a=3xk,b=3yk,c=3zk.代入右边，得：右边=333333zkykxk(zyx111)3k=3k.∴3222czbyax333cba.例4.已知：abc≠0，方程(ac－bc)x2+(bc－ab)x+(ab－ac)=0有两个相等实根.求证：bcab1111分析：要等式bcab1111成立，必须且只须ac－bc=ab－ac.证明：∵方程有两个相等的实数根，∴△=0.即(bc－ab)2－4(ac－bc)(ab－ac)=0.(bc－ab+ac－ac)2+4(bc－ac)(ab－ac)=0，(添项ac－ac)［(bc－ac)－(ab－ac)］2+4(bc－ac)(ab－ac)=0.∴［(bc－ac)+(ab－ac)］2=0.∴bc－ac+ab－ac=0.∴ac－bc=ab－ac.∵abc≠0，两边都除以abc,得，bcab1111.例5.已知：a+accbb111，a≠b≠c.求证：a2b2c2=1.证明：由已知a－b=bc11=bccb,∵a≠b，即a－b≠0，∴bc=bacb.根据轮换式性质，得同型式：ca=cbac,ab=acba.∴ab×bc×ca=acba×bacb×cbac.∴a2b2c2=1.丙练习531.已知：abc=1.求证：1111ccacbbcbaaba2.已知：x=baba,y=cbcb,z=acac.求证：(1+x)(1+y)(1+z)=(1－x)(1－y)(1－z).3.已知：(ay－bx)2+(bz－cy)2+(cx－az)2=0.求证：czbyax.4.已知：cbba.求证：(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).5.已知：zxycyzxbxyza222.求证：a+b+c=0.6.已知：bbacaacbccba，a+b+c≠0.求证：8))()((abcaccbba.7.已知：1949x2=1988y2且111yx，x0,y0.求证：1988194919881949yx.8.已知：x=abba2，且a0,b0.求证：baxxbaxa)1)((1222.9.已知：x=122bab(a0,0b1).求证：bxaxaxaxa1.10.求证：321420+321420=411.已知：azyx，bxzy，cyxz.求证：1111ccbbaa.12.已知：a+b+c=0,a2+b2+c2=0,a3+b3+c3=0.求证：a4+b4+c4=0.练习53答案1.化为同分母ab+a+1,并设为k,则bc+b+1=ak,ca+c+1=ck.6.由已知得，kbacacbcba，则k=28.由已知得，1+x2=abba4)(2,注意a+b0,ab09.把左边分母有理化10.左边被开方数配方(a+2)2b可得a=2,b=14.用反比，合比.12.0.