对数与对数函数-及经典题

对数与对数函数撰稿：江用科审稿：严春梅责编：张杨一、目标认知学习目标1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2.掌握对数函数的概念、图象和性质.重点对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用；理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:1.如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数恒等式：3.对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数，.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1)；推广：(2)；(3).(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a＞0，a≠1，M＞0的前提下有:(1)令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即:.(2)，令logaM=b，则有ab=M，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.知识点二、对数函数1.函数y=logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数.2.在同一坐标系内，当a＞1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0＜a＜1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见图1)(1)对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R(2)对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的图像过点(1，0)(3)当a＞1时，三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a＞0且a≠1，N＞0，b∈R)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(M±N)=logaM±logaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.(3)解决对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，logaN＞0；当a，N异侧时，logaN＜0.经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x(4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a＞0，b＞0.求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a＞0，b＞0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4.(1)已知logxy=a，用a表示；(2)已知logax=m，logbx=n，logcx=p，求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：am=x，bn=x，cp=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)；(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5.求值(1)log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m(m＞0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6.求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2＞0，4-x＞0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x＞0，即x＜4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1)y=(2)y=ln(ax-k·2x)(a＞0且a≠1，k∈R).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为ax-k·2x＞0，所以()x＞k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k＞0时，(i)若a＞2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0＜a＜2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0＜k＜1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1)y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2)y=lg|x|；(3)y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8.比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a＞0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4＜log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4＜log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a＞1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以，loga5.1＜loga5.9当0＜a＜1时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以，loga5.1＞loga5.9解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则当a＞1时，y=ax在R上是增函数，且5.1＜5.9所以，b1＜b2，即当0＜a＜1时，y=ax在R上是减函数，且5.1＜5.9所以，b1＞b2，即.举一反三：【变式1】若logm3.5＞logn3.5(m，n＞0，且m≠1，n≠1)，试比较m，n的大小.解：(1)当m＞1，n＞1时，∵3.5＞1，由对数函数性质：当底数和真数都大于1时，对同一真数，底数大的对数值小，∴n＞m＞1.(2)当m＞1，0＜n＜1时，∵logm3.5＞0，logn3.5＜0，∴0＜n＜1＜m也是符合题意的解.(3)当0＜m＜1，0＜n＜1时，∵3.5＞1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故0＜m＜n＜1.综上所述，m，n的大小关系有三种：1＜m＜n或0＜n＜1＜m或0＜m＜n＜1.9.证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1＜x2则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)＜f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(logax)=(a＞0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a＞1时，t=logax为增函数，若t1＜t2，则0＜x1＜x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0＜x1＜x2，a＞1，∴f(t1)＜f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0＜a＜1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a＞1或0＜a＜1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0＜t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3＞0，即-1＜x＜3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y