三年高考(2017-2019)文数真题分项版解析——专题10-解三角形(解析版)

专题10解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA−bsinB=4csinC，cosA=14，则bc=A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224abc，由余弦定理推论可得2222214131cos,,,422424bcacccAbcbcb3462bc，故选A．【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a，b，c关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.2．【2019年高考北京卷文数】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【答案】B【解析】设圆心为O，如图1，连接OA，OB，AB，OP，则22AOBAPB，所以22242OABS扇形，因为ABPAOBOABSSSS△△阴影扇形，且AOBOABSS△扇形，都已确定，所以当ABPS△最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P为弧AB的中点时（如图2），阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π−β，面积S的最大值为ABPAOBOABSSSS△△阴影扇形=4β+S△POB+S△POA=4β+12|OP||OB|sin（π−β）+12|OP||OA|sin（π−β）=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4sinβ，故选B.【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.3．【2018年高考全国Ⅲ文数】ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC△的面积为2224abc，则CA．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】由题可知2221sin24ABCabcSabC△，所以2222sinCabcab，由余弦定理2222cosabcabC，得sincosCC，因为0,πC，所以π4C，故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.解三角形的题型一般有两类：一是边角关系的转化，考生需对所给的边角关系进行恒等变形；二是有几何背景的题型，难点在于涉及两个或两个以上的三角形，解决此类问题可利用正、余弦定理进行求解，同时要重视三角函数的知识在解三角形中的运用.4．【2018年高考全国Ⅱ文数】在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA．42B．30C．29D．25【答案】A【解析】因为5cos25C，所以cosC=22cos2C−1=2×25()5−1=35.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2−2AC×BC×cosC=52+12−2×5×1×(35)=32，所以AB=42.故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查.5．【2017年高考全国Ⅰ文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinsin(sincos)0BACC，a=2，c=2，则C=A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin(sincos)0ACACC得sincoscossinsinsinsincos0ACACACAC，即πsin(sincos)2sinsin()04CAACA，所以3π4A．由正弦定理sinsinacAC得223πsinsin4C，即1sin2C，因为ca，所以CA，所以π6C，故选B．【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sinsinsincos0BAAB．(0,),(0,)AB，sin0,A∴sincos0BB，即tan1B，3.4B【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．7．【2019年高考浙江卷】在ABC△中，90ABC，4AB，3BC，点D在线段AC上，若45BDC，则BD___________，cosABD___________．【答案】1225，7210【解析】如图，在ABD△中，由正弦定理有：sinsinABBDADBBAC，而3π4,4ABADB，225AC=AB+BC=，34sin,cos55BCABBACBACACAC，所以1225BD.ππ72coscos()coscossinsin4410ABDBDCBACBACBAC.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD△中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.8．【2018年高考北京卷文数】若ABC△的面积为22234acb，且∠C为钝角，则∠B=_________；ca的取值范围是_________.【答案】60，2,【解析】22231sin42ABCSacbacB△，222sin23acbBac，即sincos3BB，sinπ3,cos3BBB，则2π31sincossinsin311322sinsinsin2tan2AAAcCaAAAA，C为钝角，ππ,036BA，31tan0,,3,3tanAA，故2,ca.故答案为60，2,.【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角πABC的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A的表达式的最值问题是解题的第二个关键.9．【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若7a，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．【答案】217，3【解析】由正弦定理得sinsinaAbB，所以2π21sinsin,377B由余弦定理得22222cos,742,3abcbcAccc（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sinB，根据余弦定理解出c.10．【2018年高考全国Ⅰ文数】ABC△的内角ABC，，的对边分别为abc，，，已知sinsin4sinsinbCcBaBC，2228bca，则△ABC的面积为________．【答案】233【解析】根据题意，由sinsin4sinsinbCcBaBC，结合正弦定理可得sinsinsinsinBCCB4sinsinsinABC，即1sin2A，由2228bca，结合余弦定理可得2cos8bcA，所以A为锐角，且3cos2A，从而求得833bc，所以ABC△的面积为1183123sin22323SbcA，故答案是233.【名师点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用与三角形的面积公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，利用正弦定理，通过sinsinbCcB4sinsinaBC，可以求出1sin2A，再利用余弦定理求出833bc，然后利用三角形的面积公式求解即可.11．【2018年高考江苏卷】在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，120ABC，ABC的平分线交AC于点D，且1BD，则4ac的最小值为▲．【答案】9【解析】由题意可知，ABCABDBCDSSS△△△，由角平分线的性质和三角形的面积公式得111sin1201sin601sin60222acac，化简得acac，即111ac，因此11444(4)()5529cacaacacacacac，当且仅当23ca时取等号，则4ac的最小值为9.【名师点睛】本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式，考查分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，尤其是等号成立的条件.12．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若2coscoscosbBaCcA，则B.【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sincossincossincossin()sincos23BBACCAACBBB.故答案为π3.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________.【答案】75°【解析】由正弦定理sinsinbcBC，得36sin22sin32bCBc，结合bc可得45B，则18075ABC.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.14．【2017年高考浙江卷】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】1510,24【解析】取BC中点E，由题意：AEBC，△ABE中，1cos4BEABCAB，∴1115cos,sin14164DBCDBC，∴115sin22△BCDSBDBCDBC．∵2ABCBDC，∴21coscos22cos14ABCBDCBDC，解得10cos4BDC或10cos4BDC（舍去）．综上可得，△BCD的面积为152，10cos4BDC．【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这