全等难题――倍长中线法

板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．知识点睛中考要求第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线【例1】(2002年通化市中考题)在△ABC中，9,5ACAB，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．MCBA【例2】(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD中，ADBC∥，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．求证：BCEFDE≌．DFECBA重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法难点：全等三角形的综合运用重、难点例题精讲【例3】(浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE∥．求证：BDECDF≌．FEDCBA【例4】如图，ABC中，ABAC，AD是中线．求证：DACDAB．GFEDCBA【例5】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．FEDCBA【例6】如图所示，在ABC和ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且ABAB，ACAC，ADAD，求证ABCABC≌．EDCABB'A'C'D'E'【例7】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．FGEDCBA【例8】已知AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．FEABDC【例9】在RtABC中，90A，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？FEDCBA【例10】如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABAC．NMDCBA【例10】(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90DFE．若3AD，4BE，则线段DE的长度为_________．【例11】如图所示，90BACDAE，M是BE的中点，ABAC，ADAE，求证AMCD．MEDCBA版块二、中位线的应用【例12】AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：13AEAC．FADECB【例13】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CDEC．EDCBA【例14】已知：ABCD是凸四边形，且ACBD．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点．求证：∠GMN∠GNM．HABCDEFMNGGNMFEDCBA【例15】在ABC中，90ACB，12ACBC，以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AEEB且AEBE．EDCBA【例16】如图，在五边形ABCDE中，90ABCAED，BACEAD，F为CD的中点．求证：BFEF．EDFCBA【例17】(“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P是ABC内的一点，PACPBC，过P作PMAC于M，PLBC于L，D为AB的中点，求证DMDL．LPMDCBA【例18】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DEDF．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：(1)DEMFDN≌；(2)PAEPBF．PFEDCBA【例19】已知，如图四边形ABCD中，ADBC，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长线分别交于M、N两点．求证：AMEBNE．ACDMFENB【例20】(2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．F图3图2图1FNMDCEBANMDCEBAHF(N)DMCEBA⑴如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE(不需证明)．⑵当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【例21】如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，BC=CD，F为DE的中点，FM⊥AC．证明：FM=12AC．KNHABCDEFMMFEDCBA【例22】(1991年泉州市初二数学双基赛题)已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PNNMPCBA【习题1】如图，在等腰ABC中，ABAC，D是BC的中点，过A作AEDE，AFDF，且AEAF．求证：EDBFDC．DFECBA【习题2】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？FEDCBA家庭作业【习题3】如右下图，在ABC中，若2BC，ADBC，E为BC边的中点．求证：2ABDE．EDCBA【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【备选2】如图，ABC中，ABAC，90BAC，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与AC交于F．求证：BEAF，AECF．ABCDEF月测备选