第二章 流变学的基本概念

第二章流变学的基本概念制造学院课程内容流体形变的基本类型标量、矢量和笛卡尔张量的定义应力张量和应变张量本构方程和材料函数流体形变的基本类型流体所有的流变现象都是力学行为应力与应变应力与应变速率流动变形时流体形变的基本类型Ⅰ.拉伸和单向膨胀流体元在拉伸方向的长度增加而在另外两个方向上的长度则缩短。简单拉伸示意图流体形变的基本类型Ⅱ.各向同性的压缩和膨胀在各向同性膨胀中，任何形状的流体元都变为几何形状相似但尺寸变大的流体元。各向同性膨胀实验示意图流体形变的基本类型Ⅲ.简单剪切和简单剪切流在简单剪切实验中，流体元的顶面相对于底面发生位移，而高度保持不变，使得原来与底面垂直的一边在变形后与其原来位置构成一定的角度。可以用来表示简单剪切形变示意图标量、矢量和笛卡尔张量的定义标量、矢量和张量是用数学方法处理流体流动与变形时，常用的物理量。1）标量在选定了测量单位后，仅有数值大小决定的物理量。2）矢量同上条件，由数值大小和空间决定的物理量。3）张量是矢量的推广，是在一点处不同方向上有不同量值的物理量。标量、矢量和笛卡尔张量的定义Ⅱ.数学定义不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关系：标量：123'''123(,,)(,,)xxxxxx矢量：123123''''123''''123(,,)(,,)(,,)(,,)ikkiikikFxxxFxxxFxxxFxxx张量：123123''''123''''123(,,)(,,)(,,)(,,)mijijminjmnimjntxxxtxxxtxxxtxxx标量、矢量和笛卡尔张量的定义Ⅲ.张量的运算1）单位张量（克罗内克算子）100010001ijI标量、矢量和笛卡尔张量的定义2）对称张量张量的分量满足，则称这样的张量为对称张量。ijji111213111213212223222331323333标量、矢量和笛卡尔张量的定义3）并矢张量将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：111213212223313233ABABABABABABABABAB并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。标量、矢量和笛卡尔张量的定义4）张量相等在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对应相等，则两张量相等。5）张量的加减按矩阵方法，两张量对应分量相加减。PQTPQ标量、矢量和笛卡尔张量的定义6）张量与标量的乘（除）即把张量的各个分量分别乘以标量111213111213212223212223313233313233PPPPPPTPPPPPPPPPPPPP标量、矢量和笛卡尔张量的定义7）向量和张量的乘积向量与张量点乘，其积均为一个矢量。8）张量与张量乘积张量与张量单点积得一张量：TPQ标量、矢量和笛卡尔张量的定义Ⅳ.张量的重要性①在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等于零，在所有笛卡尔坐标系中也为零。②两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张量，于是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。③如果某个张量方程在一个坐标系中能够立，那么对于允许变换所能得到的所有坐标系，也一定成立。应力张量和应变张量物体受力的类型：1）外力作用在物体上的非接触力，也称为长程力。2）表面力施加在物体外表面的接触力。3）内部应力是由毗邻的流体质点直接施加给所研究的微元体表面的接触力，又称为近程力。应力张量和应变张量0SFSdFdS当时，比值趋于一个确定的极限dFTdST极限向量可写为：极限向量称为面力，或称为应力向量，即代表作用在面上的单位面积的力；应力张量和应变张量Ⅰ.应力张量在笛卡尔坐标系中，可以将某点的作用力分解在该点附近的三个互相垂直的微分面上，微分面的方向与选择的坐标方向相同。将各个面的分力除以微体积元对应的表面积，得到相关的应力，再沿坐标方向进行分解，得到的分量形式为:123(,)(,)(,)xxxyxzyxyyyzzxzyzzTTTTTTTTTTTT,,,第一个下标表示该应力的作用面。第二个下标表示该应力的方向。应力张量和应变张量在笛卡尔坐标系中，只需在三个面上的应力分量，就能完整描述材料的受力情况。可成以下矩阵形式：xxxyxzyxyyyzzxzyzzTTTTTTTTTTijTT称为应力张量，而则称为应力张量分量。应力张量和应变张量通常将应力张量分解为两部分：⑴流体形变有关的动力学应力，偏应力张量；⑵张量的各向同性部分；-TP-ijijijTP应力张量和应变张量称为单位张量，可定义为以下形式：100=010001ij当时，应力分量就是法向应力，其他分量称为剪切应力应力张量和应变张量简单流变实验中的应力张量①拉伸实验在矩形断面上施加一个与端面垂直的力。00000000xxTT应力张量和应变张量②各向同性压缩应力矢量总是与分隔面垂直，且在某给定点上的大小与分割面方向无关。nTnP流体静止时（完全流体无论何时）内部的接触力就属于这种性质，因此各向同性的应力也称为流体静压力。应力张量和应变张量在各向同性压缩实验中，应力在任何方向都与作用面垂直且大小相同。即在笛卡尔坐标中：xxyyzzTTTP000000xxyyzzTTTT剪切应力分量均为零，则应力张量为：应力张量和应变张量③简单剪切在实验中，应力与作用面平行。总力矩为：yxxydLTdxdydzTdxdydz为了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时，必须施加相应的另一个剪切应力。0000000xyyxTTT应力张量和应变张量Ⅱ.应变张量变形前两点的相对位置可用下列矢量表示：12(,,)PPdxdydz变形后的两点相对位置用下列矢量表示：12''(,,)xyzPPdxdudydudzdu应力张量和应变张量变形前的距离为：(,,)dsdxdydz变形后产生的相对位移：(,,)xyzdudududu应力张量和应变张量变形前后两点的相对位置发生变化，其变化量分别为相对位移在坐标轴上的分量，其矩阵形式为:xxxyyyzzzuuuxyzuuududsxyzuuuxyz无穷小位移梯度张量,yxzuuuxyz和分别表示各坐标轴方向上的单位伸长，即变形对各坐标的变化率。应力张量和应变张量根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张量可分解为两部分：11++2211++2211++22110--2211--2212yxxxzyyyxzyxzzzyxxzyyyxzuuuuuxyxzxuuuuududsxyyzyuuuuuxzyzzuuuuyxzxuuuuuxyyzy（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（=E+W1--2yxzzzuuuuuxzyzz）（）应变张量反对称二阶张量应力张量和应变张量应变张量可简为：xxxyxzijyxyyyzzxzyzzeeeEeeeeeee可得到：,,yxzxxyyzzuuueeexyz1+2yxxyyxuueeyx（）1+2xzxzzxuueezx（）1+2yzyzzyuueeyz（）应力张量和应变张量第一不变量：1xxyyzzIeee第二不变量：2(,,,)ijjiijIeeijxyz第三不变量：3000000xxxyxzxyxyyyzyzxzyzzzeeeeIeeeeeeee应力张量和应变张量ⅰ.各向同性压缩设笛卡尔坐标的原点在试样的角上，各边与坐标轴一致。'(1)xx'(1)yy'(1)zz应力张量和应变张量ⅱ.拉伸实验笛卡尔坐标的原点在物体的中心，各边与坐标轴平行。'(1)xx'(1)yy'(1)zz应力张量和应变张量ⅲ.简单剪切'xxy'yy'zz应力张量和应变张量描述流动会涉及应变速率张量，则为11()()2211()()2211()()22yxxxzyyyxzyxzzzxyxzxvxyyzyxzzyz应力张量和应变张量如果，则流体无体积变化11I如果，则流体体积膨胀11I如果，则流体体积压缩11I本构方程和材料函数本构方程：（constitutiveequation）是一类联系应力张量和应变张量或应变速率张量之间的关系方程，而联系的系数通常是材料常数。是高分子加工过程中复杂流动问题的工程分析基础。在本构方程中，各种张量之间的关系对于某一给定的材料是唯一的。本构方程和材料函数材料函数：是某一给定的应力张量与应变分量之间的关系。可以通过实验测定应力和应变之间的关系直接加以确定。1）非时间依赖性非牛顿流体2）黏弹流体3）时间依赖性非牛顿流体再见