高中数学解题基本方法――换元法

高中数学解题基本方法——换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和α∈[0,2]。Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4)（a1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{an}中，a1＝－1，an1·an＝an1－an，则数列通项an＝___________。4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方程1313xx＝3的解是_______________。6.不等式log2(2x－1)·log2(2x1－2)〈2的解集是_______________。【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝t22＋t－12，对称轴t＝－1，当t＝2，ymax＝12＋2；2小题：设x2＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,loga4]；3小题：已知变形为11an－1an＝－1,设bn＝1an，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以an＝－1n；4小题：设x＋y＝k，则x2－2kx＋1＝0,△＝4k2－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小题：设3x＝y，则3y2＋2y－1＝0,解得y＝13，所以x＝－1；6小题：设log2(2x－1)＝y，则y(y＋1)2，解得－2y1，所以x∈(log254,log23)。Ⅱ、示范性题组：例1.实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5（①式），设S＝x2＋y2，求1Smax＋1Smin的值。（93年全国高中数学联赛题）【分析】由S＝x2＋y2联想到cos2α＋sin2α＝1,于是进行三角换元，设xSyScossinαα代入①式求Smax和Smin的值。【解】设xSyScossinαα代入①式得：4S－5S·sinαcosα＝5解得S＝10852sinα；∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴1013≤1085sin≤103∴1Smax＋1Smin＝310＋1310＝1610＝85此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝810SS的有界性而求，即解不等式：|810SS|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。【另解】由S＝x2＋y2，设x2＝S2＋t，y2＝S2－t，t∈[－S2，S2]，则xy＝±St224－代入①式得：4S±5St224－=5，移项平方整理得100t2+39S2－160S＋100＝0。∴39S2－160S＋100≤0解得：1013≤S≤103∴1Smax＋1Smin＝310＋1310＝1610＝85【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x2＋y2与三角公式cos2α＋sin2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x2＋y2而按照均值换元的思路，设x2＝S2＋t、y2＝S2－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a2＋13b2＝5，求得a2∈[0,53]，所以S＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)＝1013＋2013a2∈[1013,103]，再求1Smax＋1Smin的值。例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，1cosA＋1cosC＝－2cosB，求cosAC2的值。（96年全国理）【分析】由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得ACB12060°＝°；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设AC＝°α＝°－α6060，再代入可求cosα即cosAC2。【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得ACB12060°＝°,由A＋C＝120°，设AC＝°α＝°－α6060，代入已知等式得：1cosA＋1cosC＝160cos()＋160cos()＝11232cossin＋11232cossin＝coscossin143422＝coscos234＝－22,解得：cosα＝22，即：cosAC2＝22。【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以1cosA＋1cosC＝－2cosB＝－22，设1cosA＝－2＋m，1cosC＝－2－m，所以cosA＝12m，cosC＝12m，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2cosAC2cosAC2＝cosAC2＝2222m，cosA－cosC＝－2sinAC2sinAC2＝－3sinAC2＝222mm，即：sinAC2＝－2322mm()，＝－2222m，代入sin2AC2＋cos2AC2＝1整理得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代入cosAC2＝2222m＝22。【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“1cosA＋1cosC＝－22”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以1cosA＋1cosC＝－2cosB＝－22，即cosA＋cosC＝－22cosAcosC，和积互化得：2cosAC2cosAC2＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cosAC2＝22－2cos(A-C)＝22－2(2cos2AC2－1)，整理得：42cos2AC2＋2cosAC2－32＝0,解得：cosAC2＝22例3.设a0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝t212∴f(x)＝g(t)＝－12(t－2a)2＋12（a0），t∈[-2,2]t＝-2时，取最小值：－2a2－22a－12当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a2＋22a－12；当02a≤2时，t＝2a，取最大值：12。∴f(x)的最小值为－2a2－22a－12，最大值为1202222212222()()aaaa。【注】此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例4.设对所于有实数x，不等式x2log241()aa＋2xlog221aa＋log2()aa14220恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）y,,－22x【分析】不等式中log241()aa、log221aa、log2()aa1422三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】设log221aa＝t，则log241()aa＝log2812()aa＝3＋log2aa12＝3－log221aa＝3－t，log2()aa1422＝2log2aa12＝－2t，代入后原不等式简化为（3－t）x2＋2tx－2t0，它对一切实数x恒成立，所以：3048302tttt()，解得ttt306或∴t0即log221aa0021aa1，解得0a1。【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log241()aa、log221aa、log2()aa1422三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。例5.已知sinθx＝cosθy，且cos22θx＋sin22θy＝10322()xy(②式)，求xy的值。【解】设sinθx＝cosθy＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin2θ＋cos2θ＝k2(x2+y2)＝1,代入②式得：kyx222＋kxy222＝10322()xy＝1032k即：yx22＋xy22＝103设xy22＝t，则t＋1t＝103,解得：t＝3或13∴xy＝±3或±33【另解】由xy＝sincosθθ＝tgθ，将等式②两边同时除以cos22θx，再表示成含tgθ的式子：1＋tg4θ＝()()11031122tgtg＝103tg2θ，设tg2θ＝t，则3t2—10t＋3＝0，∴t＝3或13，解得xy＝±3或±33。【注】第一种解法由sinθx＝cosθy而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为xy＝sincosθθ，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。例6.实数x、y满足()x192＋()y1162＝1，若x＋y－k0恒成立，求k的范围。【分析】由已知条件()x192＋()y1162＝1，可以发现它与a2＋b2＝1有相似之处，于是实施三角换元。【解】由()x192＋()y1162＝1，设x13＝