北师大版九年级上第二章一元二次方程学案

1沈阳市第九十九中学九年级数学教（学）案第二章一元二次方程认识一元二次方程（1）知识目标：经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。重难点：会识别一元二次方程及各部分名称。一，自主探究活动内容：问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题二：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？二，总结归纳活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a≠0；(2)若a≠0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a≠0)，则为一元二次方程，否则不是。三，学以致用活动内容：1、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．易错易混点1.下列关于x的方程：(1)ax2+bx+c=0；(2)532aa；(3)0322xx；(4)0223xxx中，一元二次方程的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.判断方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x的一元二次方程。(1)一变：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元二次方程，则m应满足_________。8m2(2)二变：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元一次方程，则m的值为__________。3.m为何值时，关于x的方程023112mxxmm是一元二次方程？四，当堂反馈【基础训练】（100分）1、一元二次方程的一般形式是_________________（a，b，c为常数，a≠０）二次项系数、一次项系数、常数项分别是_____,______,______.2、填表方程二次项系数一次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03、请在一元二次方程的后面打“√”(1)7x2－6x＝0（）(2)2x2－5xy＋6y＝0（）(3)2x2－x31－1＝0（）(4)x2＋2x－3＝1＋x2（）4、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？(只列方程)5．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽为5m．如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，则花边多宽?(只列方程)五，反思升华活动内容：通过本节课的学习，归纳本节的知识要点，还有哪些困惑？3沈阳市第九十九中学九年级数学教（学）案第二章一元二次方程认识一元二次方程（2）知识目标：结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，继续深化对一元二次方程的认识。重难点：经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。一、课前演练活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：182x52x8，即：0111322xx；2221076x，即：01512xx2。发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x吗？二、典型例题活动内容：1、有一根外带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。2、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x(m)，得到方程：182x52x8，即：0111322xx；（1）x可能小于0吗?说说你的理由．（2）x可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流．（3）完成下表：x00.511.522.52x2-13x+11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．三、学以致用活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程2221076x，把这个方程化为一般形式为01512xx2（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?（2）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?为什么?（3）底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么?（4）x的整数部分是几?十分位是几?活动内容：五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。您能求出这五个整数分别是多少吗？4四、当堂反馈【基础训练】（100分）1、把下列一元二次方程化为一般形式1)4(2xx_____________________,(x－2)2=5______________________,2、方程012322xx的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A、2、23、1；B、2、3、1；C、2、21、1；D、2、23、3、082,0105,1,5)2)(1(42222xxxyxxx中,一元二次方程的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个4、观察下列等式：73452331210122222222、、、，用含自然数n的等式表示这种规律为5、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．【探究提高】（20分）6．一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在踞水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员踞水面的高度h(m)满足关系:h＝10+2.5t-5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作.五、反思升华5沈阳市第九十九中学九年级数学教（学）案第二章用配方法求解一元二次方程(1)知识目标：会用开方法解形如nmx2)()0(n的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程；重难点：经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；一，课前演练1、如果一个数的平方等于4，则这个数是，若一个数的平方等于7，则这个数是。一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？2、用字母表示完全平方公式。3、用估算法求方程0242xx的解？你喜欢这种方法吗？为什么？你能设法求出其精确解吗？二，情境引入活动内容：（1）工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100CM2正方形，请你帮他想一想，这个正方形的边长应为；若它的面积为75CM2，则其边长应为。（2）如果一个正方形的边长增加cm3后，它的面积变为264cm，则原来的正方形的边长为。若变化后的面积为248cm呢？（小组合作交流）（3）你会解下列一元二次方程吗？（独立练习）52x；5)2(2x；036122xx。（4）上节课，我们研究梯子底端滑动的距离)(mx满足方程015122xx,你能仿照上面几个方程的解题过程,求出x的精确解吗?你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?（合作交流）三，典型例题活动内容1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方）填上适当的数，使下列等式成立。（选4个学生口答）22)6(_____12xxx22)3(____6xxx22___)(____8xxx22___)(____4xxx问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如axx2的式子如何配成完全平方式？（小组合作交流）活动内容2：解决例题（1）解方程：x2+8x-9=0.（师生共同解决）（2）解决梯子底部滑动问题：015122xx（仿照例1，学生独立解决）活动内容3：及时小结、整理思路用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？（小组合作交流）6活动内容4、应用提高例3：如图，在一块长和宽分别是16米和12米的长方形耕地上挖两条宽度相等的水渠，使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半，试求水渠的宽度。四，学以致用活动内容：解下列方程98)4(0)14()3(;16)2(;72510)1(222xxxxxxxx五、反思升华7沈阳市第九十九中学九年级数学教（学）案第二章用配方法求解一元二次方程(2)知识目标：经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；重难点：经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；一，课前演练活动内容：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤。例如，x2-6x-40=0二，情境引入活动内容：1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.1.x2+2x+________=(x+______)22.x2-4x+________=(x-______)23.x2+________+36=(x+______)24.x2+10x+________=(x+______)25.x2-x+________=(x-______)22.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别1.x2+6x+8=02.3x2+18x+24=0探讨方程2的应如何去解呢？三，典型例题活动内容1：讲解例题例2解方程3x2+8x-3=0活动内容2：应用提高：做一做：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度？四，学以致用活动内容：课本习题2.4第1题印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。8五、当堂反馈【基础训练】（100分）1．+16x+=2(x+4)22．如果x2-10x+y2-16y+89=0,则x＝，y＝.3、用配方法解下列方程，正确的是（）.A.x2-4x-12=0,化为(x-2)2=12B.x2-4x-12=0,化为(x＋2)2=16C.2x2-5x–4=0,化为(x-45)2=1657D.2x2-5x–4=0,化为(x-45)2=16254．某企业计划用两年时间把上缴利税提高44％；若每年比上一年提高的百分率相同，则可得方程解得：x=5．用配方法解方程：0.4x2-0.8x=16.解方程：0231322yy六、反思升华9沈阳市第九十九中学九年级数学教（学）案第二章一元二次方程公式法知识目标：能够正确的导出一元二次