模糊集合及其运算

模糊集合及其运算确定性——经典数学量随机性——随机数学不确定性模糊性——模糊数学随机性：事件本身的状态是清楚的，但是否发生不确定。（事件是否发生不确定）明天有雨，掷一枚骰子出现6点模糊性：事件本身的状态不很分明，不在于事件发生与否。（事件本身的状态不确定）青年人，高个子模糊数学也是由于实践的需要而产生的，模糊概念（或现象）处处存在。有时使用模糊性比使用精确性还要好。例如，“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的东西，它也具有数学的共性：条理分明、一丝不苟。即使描述模糊概念（或现象），也会描述得清清楚楚。一般来说，随机性是一种外在因果的不确定性，模糊性是一种内在结构的不确定性。一、经典集合与特征函数集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的每个对象u称为U的元素。在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有或者，用函数表示为：AuAu),(}1,0{:uuUAA其中AuAuuA,0,1)(函数称为集合A的特征函数。A二、模糊集合及其运算美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。基于此，1965年，Zadeh教授在《InformationandControl》杂志上发表了一篇开创性论文“FuzzySets”,标志着模糊数学的诞生。1、模糊子集定义：设U是论域，称映射]1,0[)(],1,0[:~~xxUAA确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函~A~A~A数，称为对的隶属程度，简称隶属度。)(~xAx~A模糊子集由隶属函数唯一确定，故认为二者~A~A是等同的。为简单见，通常用A来表示和。~A~A~AU“高个子”——1.80高个子，1.79可以略低于1（99%）的程度属于高个.模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211这里表示对模糊集A的隶属度是。iixxA)(ix)(ixA如4032.028.011A（3）向量表示法))(,),(),((21nxAxAxAA（2）序偶表示法))}(,(,)),(,()),(,{(2211nnxAxxAxxAxA若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：UxxxAA)(2、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：UxxBxABA),()(包含：UxxBxABA),()(并：UxxBxAxBA),()())((交：UxxBxAxBA),()())((余：UxxAxAc),(1)(表示取大；表示取小。例设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”B=“商品质量坏”，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见AcB,BcA.商品质量不好商品质量坏又A∪Ac=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,A∩Ac=(0.2,0.45,0,0.3,0).模糊集合的截集定义：设AF(X)，[0，1]，记(A)={xX|A(x)},称(A)为A的截集，简记为A。例取则有65432102.05.06.08.01xxxxxxA110.8120.7120.61230.412340.2123450{},{,},{,},{,,},{,,,},{,,,,}AxAxxAxxAxxxAxxxxAxxxxxAX。几个常用的算子：（1）Zadeh算子),(},min{},,max{babababa（2）取大、乘积算子),(abbababa},,max{（3）环和、乘积算子),ˆ(abbaabbaba,ˆ（4）有界和、取小算子),(},min{),(1babababa（5）有界和、乘积算子),(abbababa),(1（6）Einstain算子),()1)(1(1,1baabbaabbaba3、模糊矩阵定义：设称R为模糊矩阵。,10,)(ijnmijrrR当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。ijr当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，nnijrR)(iir称R为模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA)(,)(相等：ijijbaBA包含：ijijbaBA并：nmijijbaBA)(交：nmijijbaBA)(余：nmijcaA)1(例：则设,2.03.004.0,3.02.01.01BA3.03.01.01BA2.02.004.0BA7.08.09.00cA8.07.016.0cB取大运算取小运算（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaAnmijcBA)(为A与B的合成，其中。{()1}ijikkjcabks例：则设,6.04.02.05.03.01.0,3.06.02.05.01.04.0BA3.03.06.05.0BA5.05.04.03.03.03.02.02.01.0AB2AAA模糊矩阵的幂（3）模糊矩阵的转置定义：设称为A的,)(nmijaA()TjinmAa转置矩阵。（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设对任意的称,)(nmijaA],1,0[nmijaA)()(为模糊矩阵A的截矩阵，其中ijijijaaa,0,1)(例：则设,18.03.008.011.02.03.01.015.002.05.01A11001100001100115.0A11001100001000018.0A三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素;0u（3）U中的一个随机运动集合;*A（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，*A制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使对A的隶属关系是不确定的。0u特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。0u*A模糊统计试验过程：（1）做n次试验，计算出nAuAu的次数的隶属频率对*00（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuuAn的次数*00lim)(0u对A的隶属度：例取年龄作论域X，通过模糊试验确定x0=27(岁)对模糊集“青年人”A的隶属度。张南伦曾对129名学生进行了调查试验，要求每个被调查者按自己的理解确定“年青人”(即A)的年龄范围(即A*)，每一次确定的范围都是一次试验，共进行了129次试验.统计的隶属频率见表1。表127岁对模糊集“年青人”的隶属频率由表1可见，隶属频率随试验次数n的增加而呈现稳定性，稳定值为0.78，故有[青年人](27)=0.78。n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101隶属频率0.780.760.760.750.790.78模糊统计与概率统计的区别：模糊统计：变动的圆盖住不动的点概率统计：变动的点落在不动的圆内2、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。(1)偏大型（S型）：这种类型的隶属函数随x的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：描述“大”，“热”、“老年”等偏向大的一方的模糊现象。越大越好（食品中营养物质的含量）1）升半矩形分布.,1,,0)(axaxxA10axA(x)2）升半分布.,1,,0)()(axeaxxAaxk10axA(x)a+1/k图3.83）升半正态分布10axA(x)图3.90.,1,,0)(2)(kaxeaxxAaxk4）升半柯西分布0,0.,])(1[,,0)(1axaxaxxA10axA(x)5）升半梯形分布.1,,,0)(221121xaaxaaaaxaxxA10a1xA(x)a26）升岭形分布.,1),2(sin2121,,0)(2212112xaaxaaaxaaaxxA10a1xA(x)a2(a1+a2)/2(2)偏小型(Z型)：这种类型的隶属函数随x的增大而减小，又可分为：描述“小”，“冷”、“青年”等偏向大的一方的模糊现象。越小越好（空气中有害物质的含量）1）降半矩形分布.,0,,1axaxxA01axA(x)2）降半分布.0,,,,1kaxeaxxAaxk其中01aa+1/kxA(x)3）降半正态分布.0,,,,12kaxeaxxAaxk其中01axA(x)4）降半柯西分布.0,0,,1,,11其中axaxaxxAA(x)01ax5）降半梯形分布.,0,,,,12211221xaaxaaaxaaxxAA(x)01a1xa26）降岭形分布.,0,,)2(sin2121,,122112121xaaxaaaxaaaxxA01/21a12aa21a2xA(x)(3)中间型（型）：这种类型的隶属函数在(－，a)上为偏大型，在(a,+)为偏小型，所以称为中间型.描述“中”，“暖和”、“中年”等处于中间的模糊现象。越居中越好（人的体重）1）矩形分布.,0,,1,,0xbabaxbabaxxA01A(x)a-baa+bx2）尖分布0,,,,kaxeaxexAaxkaxk其中01A(x)a-1/kaa+1/kx3）正态分布.0,2kexAaxk其中0ax1A(x)4）柯西分布为正偶数。其中,0,11xxA0ax1A(x)5）梯形分布,,0,,,,1,,,,022112211121222xaaaaxaaaaaxaaaxaaaaxaaaaaxaaaxxA01A(x)a-a1aa+a2xa-a2a+a16）岭形分布,,0,,)2(sin2121,,1,,)2(sin2121,,02211212111212122xaaaxaaaxaaaxaaxaaaxaaaxxA01A(x)a1a2-a1-a2x3、其它方法德尔菲法：专家评分法二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。