一阶微分方程在经济学中的综合应用

第三节一阶微分方程在经济学中的综合应用在研究各经济变量之间的联系及其内在规律时，常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式，并由此确定所研究函数的形式，从而根据一些已知的条件来确定该函数的表达式。从数学上讲，就是建立微分方程并求解微分方程。下面举一些一阶微分方程在经济学中应用的例子。一、分析商品的市场价格与需求量(供给量)之间的函数关系例1某商品的需求量Q对价格P的弹性为–P1n3,若该商品的最大需求量为1200(即P=0时,Q=1200),(P的单位为元,Q的单位为kg).1.试求需求量Q与价格P的函数关系;2.求当价格为1元时,市场对该商品的需求量;3.当P+时,需求量的变化趋势如何?解1.由条件可知,3lnPdPdQQP即,3lnQdPdQ分离变量并求解此微分方程,得,3lndPQdQ,3lnPCeQ(C为任意常数)由得,C=1200,12000PQ,31200PQ2.当P=1(元)时,,4000312001kgQ3.显然P+时,Q0,即随着价格的无限增大,需求量将趋于零.例2设某商品的需求函数与供给函数分别为(其中a,b,c,d均为正常数)假设商品价格P为时间t的函数,已知初始价格P(0)=且在任一时刻t,价格P(t)的变化率总与这一时刻的超额需求成正比(比例常数为k0).1.求供需相等时的价格(均衡价格);2.求价格P(t)的表达式;3.分析价格P(t)随时间的变化情况.dPcQbPaQsd,0PsdQQeP解sdQQ1.由得;dbcaPe2.由题意可知)0()(kQQkdtdPsd将代人上式,得dPcQbPaQsd,)()(cakPdbkdtdP(1)解此一阶非齐次线性微分方程,得通解为dbcaCetPtdbk)()(由P(0)=得,0PePPdbcaPC00则特解为.)()()(0etdbkePePPtP3.讨论价格P(t)随时间的变化情况.由于为常数,k(b+d)0,故当t+时,从而(均衡价格)(从数学上讲,显然均衡价格即为微分方程(1)的平衡解,且由于故微分方程的平衡解是稳定的).ePP0,0)()(0tdbkeePPePtP)(eP,)(limetPtP由与的大小还可分三种情况进一步讨论(见下图)0PeP1)若，则，即价格为常数，市场无需调节达到均衡；ePP0ePtP)(2)若，因为总是大于零且趋于零，故P(t)总大于而趋于；ePP0tdbkeePP)(0)(ePeP3)若，则P(t)总是小于而趋于.ePP0ePeP由以上讨论可知，在价格P(t)的表达式中的两项：为均衡价格，而就可理解为均衡偏差.ePtdbkeePP)(0)(例3某林区实行封山养林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻t木材的变化率与当时木材数成正比.假设10年时这林区的木材为20万立方米.若规定，该林区的木材量达到40万立方米时才可砍伐，问至少多少年后才能砍伐.二、预测可再生资源的产量，预测商品的销售量解若时间t以年为单位，假设任一时刻t木材的数量为P(t)万立方米，由题意可知kPdtdP(k为比例常数)且.20,10100ttPP该方程的通解为,tkCeP将t=0时,P=10代人,得C=10,故,10tkeP再将t=10时,P=20代人,得于是,102lnk,210101.02ln1.0tteP要使P=40,则t=20.故至少20年后才能砍伐.例4假设某产品的销售量x(t)是时间t的可导函数,如果商品的销售量对时间的增长速率与销售量x(t)及销售量接近于饱和水平的程度N–x(t)之积成正比(N为饱和水平,比例常数为k0),且当t=0时,1.求销售量x(t);2.求x(t)的增长最快的时刻T.tdxd.4Nx解1.由题意可知)0()(kxNkxtdxd(2)分离变量,得tdkxNxdx)(两边积分,得tkNCexNx解出x(t),得tkNtkNtkNBeNCeNCetx11)((3)其中由得,B=3,故,1CB4)0(Nx;31)(tkNeNtx2.由于,)31(322tkNtkNekeNtdxd,)31()31(332322tkNtkNtkNeeekNtdxd令得,022tdxd.3lnNT当tT时,当tT时,故;022tdxd;022tdxdNT3ln时,x(t)增长最快.在生物学、经济学中，常遇到这样的量x(t)，其增长率dx/dt与x(t)及N–x(t)之积成正比(N为饱和值),这时x(t)的变化规律遵循微分方程(2)，而x(t)本身按Logistic曲线(3)的方程而变化.微分方程(2)称为Logistic方程，其解曲线(3)称为Logistic曲线.例5某商场的销售成本y和存贮费用S均是时间t的函数，随时间t的增长，销售成本的变化率等于存贮费用的倒数与常数5的和，而贮存费用的变化率为存贮费用的(–1/3)倍.若当t=0时，销售成本y=0，存贮费用S=10.试求销售成本与时间t的函数关系及存贮费用与时间t的函数关系.三、成本分析解由已知51StdydStdSd31(4)(5)解微分方程(5)得3teCS由得,C=10,故存贮费用与时间t的函数100tS关系为,103teS将上式代入微分方程(4),得,51013tetdyd从而,510313Cteyt由得从而销售成本与时间t的函,00ty,1031C数关系为.10351033teyt四、公司的净资产分析对于一个公司，它的资产的运营，我们可以把它简化地看作发生两个方面的作用。一方面，它的资产可以象银行的存款一样获得利息，另一方面，它的资产还需用于发放职工工资。显然，当工资总额超过利息的盈取时，公司的经营状况将逐渐变糟，而当利息的盈取超过付给职工的工资总额时，公司将维持良好的经营状况。为了表达准确起见，假设利息是连续盈取的，并且工资也是连续支付的。对于一个大公司来讲，这一假设是较为合理的。例6设某公司的净资产在营运过程中，象银行的存款一样，以年5%的连续复利产生利息而使总资产增长，同时，公司还必须以每年200百万元人民币的数额连续地支付职工的工资。1.列出描述公司净资产W(以百万元为单位)的微分方程;2.假设公司的初始净资产为(百万元)，求公司的净资产W(t);3.描绘出当分别为3000,4000和5000时的解曲线.0W0W解先对问题作一个直观分析.首先看是否存在一个初值,使该公司的净资产不变.若存在这样的,则必始终有0W0W利息盈取的速率=工资支付的速率即,20005.00W,40000W所以,如果净资产的初值(百万元)时,利息与工资支出达到平衡,且净资产始终不变.即4000(百万元)是一个平衡解.40000W但若(百万元),则利息盈取超过工资支出,净资产将会增长,利息也因此而增长得更快,从而净资产增长得越来越快;40000W若(百万元),则利息的盈取赶不上工资的支付;公司的净资产将减少,利息的盈取会减少,从而40000W净资产减少的速率更快.这样一来,公司的净资产最终减少到零,以致倒闭.下面将建立微分方程以精确地分析这一问题.1.显然净资产的增长速率=利息盈取的速率–工资支付速率若W以百万元为单位,t以年为单位,则利息盈取的速率为每年0.05W百万元,而工资支付的速率为每年200百万元,于是20005.0WtddW即,)40000(05.0WtddW(6)这就是该公司的净资产W所满足的微分方程.令则得平衡解,0tddW.40000W2.利用分离变量法求解微分方程(6)得,400005.0tCeW(C为任意常数)由得00WWt,40000WC故,)4000(400005.00teWW3.若则W=4000即为平衡解.,40000W若则,50000W.1000400005.0teW若则,30000W.1000400005.0teW在的情形,当t27.7时,W=0,这意味着该公司在今后的28个年头将破产.30000W下图给出了上述几个函数的曲线.W=4000是一个平衡解.可以看到,如果净资产在附近某值开始,但并不等于4000(百万元),那么随着t的增大,W将远离故W=4000是一个不稳定的平衡点.0W,0W例7在宏观经济研究中,发现某地区的国民收入y,国民储蓄S和投资I均是时间t的函数.且在任一时刻t,储蓄额S(t)为国民收入y(t)的1/10倍,投资额I(t)是国民收入增长率dy/dt的1/3倍.t=0时,国民收入为5(亿元).设在时刻t的储蓄额全部用于投资,试求国民收入函数.五、关于国民收入、储蓄与投资的关系问题解由题意可知,101yS,31dtdyI由假设,时刻t的储蓄全部用于投资,那么S=I,于是有,31101dtdyy解此微分方程得,103tCey由得C=5.故国民收入函数,50ty.5103tey.21103teIS而储蓄函数和投资函数为