2013版初中数学金榜学案配套课件：4.4_矩形、正方形(北师大版八年级上册)

点击进入相应模块4矩形、正方形【目标提醒】掌握矩形、正方形的定义、性质及判别方法，并能应用其性质及判别方法解决有关问题.【探究提示】利用平行四边形的相邻两角互补对角相等，来证明矩形的四个角都是直角，利用全等三角形来证明矩形的对角线相等.【归纳】【点拨】矩形的性质及判别【例1】如图矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.【思路点拨】【自主解答】由矩形ABCD的四个角都是直角且已知AE平分∠BAD得∠BAE=∠BAD=45°,在Rt△ABE中,得∠AEB=45°,所以∠BAE=∠AEB,故AB=BE.又由∠CAE=15°,得∠BAC=60°,所以△ABO是等边三角形，即AB=OB,∠ABO=60°,因此BE=OB,∠OBE=30°,故∠BOE=(180°-∠OBE)=75°.1212【规律总结】在矩形的性质及判别的题目中，找出隐含的等边三角形和等腰直角三角形往往是解题的关键.1.矩形具有平行四边形不具有的性质是()(A)对角相等(B)对角线互相平分(C)对边平行且相等(D)对角线相等【解析】选D.矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线可以不相等.2.已知在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，请添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，加上的条件可以是_______.【解析】由条件可知四边形ABCD已经是平行四边形了，根据矩形的定义只要添上任意一个内角为直角即可.答案：∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)【点石成金】在矩形中对角线相等且平分，是其很重要的一条性质，而矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，直角三角形的斜边上的中线，恰好是矩形对角线的一半，所以直角三角形斜边上的中线是其斜边的一半.正方形的性质及判别【例2】如图，四边形ABCD为正方形，在对角线AC上取CE=CD，作EF⊥AC交AD于点F，则AE=EF=FD吗？请说明理由.【思路点拨】观察图中的三角形的特征，找出相等的线段，再分析EF和FD分别在哪两个三角形中，能否构造全等三角形解决问题.【自主解答】AE=EF=FD,理由如下：∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠EAF=45°.又∵∠AEF=90°，∴∠AFE=∠EAF=45°，∴AE=EF.连接CF，∵∠FEC=∠FDC=90°，又∵CE=CD，CF=CF，∴Rt△CEF≌Rt△CDF，∴EF=DF，∴AE=EF=FD.【规律总结】在正方形中，隐含的条件较多，在这里连接FC，构造全等三角形是解决该例题的关键.3.正方形具有但矩形不具有的性质是()(A)四个角都相等(B)每条对角线相等且平分一组对角(C)对角线互相平分且垂直(D)两对角线分成的四个三角形都是全等的直角三角形【解析】选D.正方形的对角线垂直相等且平分，所以正方形的两对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，而矩形的两条对角线只能把其分成四个面积相等的等腰三角形.4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么四边形DECF是正方形吗？说明理由.【解析】四边形DECF是正方形，理由如下：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB=90°，∴∠DFC=∠DEC=∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴∠ECD=∠CDE=45°，∴EC=ED,∴四边形DECF是正方形.【点石成金】由于正方形既是矩形又是菱形，因此判定一个四边形是否为正方形时，往往从矩形的判定和菱形的判定两方面入手.(1)矩形具有菱形的特殊性质则是正方形.(2)菱形具有矩形的特殊性质则是正方形.四边形同时具有矩形、菱形的特殊性质则是正方形.1.(丽水中考)如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是()(A)2m+3(B)2m+6(C)m+3(D)m+6【解析】选A.剪拼前后总面积不变，即设剩余部分的矩形长为x.所以(m+3)2=m2+3x,解得x=2m+3.2.如图，E是正方形ABCD内一点，且△EAB是等边三角形，则∠ADE为()(A)70°(B)72.5°(C)75°(D)77.5°【解析】选C.因为△ABE是正三角形，所以AE=AD，∠BAE=60°，又由∠BAD=90°,所以∠EAD=∠BAD-∠BAE=30°，所以∠ADE=(180°-30°)=75°.123.矩形的一条边长为4cm，面积为20cm2，则这个矩形的一条对角线长_______cm.【解析】因为矩形的面积为两邻边的乘积，所以该矩形的另一边长为5cm，在矩形中两邻边与其中的一条对角线构成直角三角形.所以对角线长为：答案：225441cm.414.如图，正方形ABCD的对角线长为8，ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF=_______.【解析】根据正方形的有关性质可知△AEM为等腰直角三角形，所以AE=ME，四边形MFOE为矩形，所以MF=OE，所以ME+MF=AE+OE=AO=AC=4.答案：4125.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E为BC边上一点，且BE=1，求点D到AE的距离.【解析】连接DE，过点D作DH⊥AE于点H.因为△ADE的面积为矩形ABCD面积的一半，所以AE·DH=3.由勾股定理得，即点D到AE的距离为1265AE5DH5，所以，65.5