高考椭圆几种题型

第1页共10页高考椭圆几种题型―引言在高考之中占有比较重要的地位，并且占的分数也多。分析历年的高考试题，在选择题，填空题，大题都有椭圆的题。所以我们对知识必须系统的掌握。对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解。二椭圆的知识（一）、定义1平面内与与定点F1、F2的距离之和等于定长2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，其中F1、F2称为椭圆的焦点，|F1F2|称为焦距。其复数形式的方程为|Z-Z1|+|Z-Z2|=2a(2a|Z1-Z2|)2一动点到一个定点F的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于0小于1的常数，则这个动点的轨迹叫椭圆，其中F称为椭圆的焦点，l称为椭圆的准线。（二）、方程1中心在原点，焦点在x轴上：)0(12222babyax2中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222babxay3参数方程：sincosbyax4一般方程：)0,0(122BAByAx（三）、性质1顶点：),0(),0,(ba或)0,(),0(ba2对称性：关于x，y轴均对称，关于原点中心对称。3离心率：)1,0(ace4准线caycax22或5焦半径：设),(00yxP为)0(12222babyax上一点，F1、F2为左、右焦点，则01exaPF，02exaPF；设),(00yxP为)0(12222babxay上一点，F1、F2为下、上焦点，则01exaPF，02exaPF。第2页共10页三椭圆题型（一）椭圆定义1.椭圆定义的应用例1椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc．由21e，得4k．当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12．由21e，得4191k，即45k．∴满足条件的4k或45k．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8k与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．例3已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围．解：由,35,03,05kkkk得53k，且4k．∴满足条件的k的取值范围是53k，且4k．说明：本题易出现如下错解：由,03,05kk得53k，故k的取值范围是53k．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba时，并不表示椭圆．第3页共10页例4已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．解：方程可化为1cos1sin122yx．因为焦点在y轴上，所以0sin1cos1．因此0sin且1tan从而)43,2(．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b．(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0例5已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2.关于线段长最值的问题一般两个方法：一种是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值，或用均值不等式来求最值。例(1)：点P为为椭圆)0(12222babyax上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：21PFPF取得最值时的P点坐标。解：(1)设),(00yxP，则],[0aax。由椭圆第二定义知：002021)(2,)(0exaaexaPFaexecaxPF。∴21PFPF0222xea。当00x时，21PFPF取最大值2a，此时点P(0,±b)；当ax0时，21PFPF取最小值b2，此时点P(±a，0)。第4页共10页（二).焦半径及焦三角的应用例1已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积．解：如图，设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF·224coscPF．①由椭圆定义知：aPFPF221②，则－①②2得cos12221bPFPF．故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b．第5页共10页例2.已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．求1PFPA的最大值、最小值及对应的点P坐标；分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：如上图，62a，)0,2(2F，22AF，设P是椭圆上任一点，由6221aPFPF，22AFPFPA，∴26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线．由22AFPFPA，∴26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线．建立A、2F的直线方程02yx，解方程组4595,0222yxyx得两交点)2141575,2141579(1P、)2141575,2141579(2P．综上所述，P点与1P重合时，1PFPA取最小值26，P点与2P重合时，2PFPA取最大值26．第6页共10页（三）、直线与椭圆相交问题(1)常用分析一元二次议程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。(2)弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△0这一制约条件不同意。akAB212121xxxx例1.已知直线l过椭圆729822yx的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，求弦MN的长。解：由7298)1(222yxxy得0918112xx。方法一：由弦长公式1160119114185122akAB方法二：)(2)()(212212xxaexcaexcaNFMFMN11603111186例2已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121xxkAB]4))[(1(212212xxxxk．因为6a，3b，所以33c．因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx．设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而1348]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF1，nBF1，则mAF122，nBF122．第7页共10页在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m．同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标．再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB（四）、“点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设A(x1,y1)B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设),(00yxp为AB的中点。两式相减，02022122122121)()(yaxbyyaxxbxxyy3.得出2121xxyyk注：一般的，对椭圆12222byax上弦AB及中点，M，有22abKKOMAB说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．例1已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为11yxM，，22yxN，，线段MN的中点yxR，，则第8页共10页④，③，②，①，yyyxxxyxyx222222212122222121①－②得0221212121yyyyxxxx．由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将③④代入得022121xxyyyx．⑤（1）将21x，21y代入⑤，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx．⑥将⑥代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求．（2）将22121xxyy代入⑤得所求轨迹方程为：04yx．（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入⑤得所求轨迹方程为：022222yxyx．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：2222212221yyxx，⑦，将③④平方并整理得21222