2013-2014学年高中数学人教A版选修1-1同步辅导与检测：3.3.2函数的极值与导数

金品质•高追求我们让你更放心！◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆3．3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数导数及其应用金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆1．极值的概念如果函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；如果函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆2．求函数y＝f(x)的极值的一般方法解方程f′(x)＝0.当f′(x)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆函数极值求解的一般步骤依据极值的概念，可以归纳得出求函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0；(4)判断f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．注意：函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆求函数f(x)＝x3－12x的极值．解析：易知函数的定义域为R，且f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增↗16单调递减↘－16单调递增↗因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，且极大值为f(－2)＝16；当x＝2时，f(x)有极小值，且极小值为f(2)＝－16.点评：这是基本题，主要目的是为了巩固函数极值的求法，要求思路清晰，表述合理．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆变式迁移1．求下列函数的极值：(1)f(x)＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)f(x)＝2x＋1x.(1)f(x)的极大值为57，极小值为－7(2)f(x)的极大值为－22，极小值22金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的极值．解析：由已知得，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1.(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．当a＞1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1,＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；在(0，a－1)上单调递减；在(a－1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.点评：该题综合考查了函数的单调性和极值的定义与求法，其中渗透了字母运算和分类讨论的数学思想，体现了高考命题的方向，具有很强的实战价值．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆变式迁移2．(2013·东莞二模20)已知函数f(x)＝ax2－2x＋lnx.(1)若f(x)无极值点，但其导函数f′(x)有零点，求a的值；(2)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围，并证明f(x)的极小值小于－32.解析：(1)由题意x0，得f′(x)＝2ax－2＋1x＝2ax2－2x＋1x.f′(x)有零点而f(x)无极值点，表明该零点左右f′(x)同号，故a≠0，且2ax2－2x＋1＝0的Δ＝0.由此可得a＝12.(2)由题意得，2ax2－2x＋1＝0有两不同的正根．故Δ0，a0，解得：0a12.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆设2ax2－2x＋1＝0的两根为x1，x2，不妨设x1x2，因为在区间(0，x1)，(x2，＋∞)上，f′(x)0，而在区间(x1，x2)上，f′(x)0，故x2是f(x)的极小值点．因f(x)在区间(x1，x2)上是减函数，如能证明fx1＋x22－32，则更有f(x2)－32.由韦达定理得，x1＋x22＝12a，f12a＝a12a2－212a＋ln12a＝ln12a－32·12a.令12a＝t，其中t1.设g(t)＝lnt－32t＋32，利用导数容易证明g(t)当t1时单调递减，而g(1)＝0，因此g(t)0，即f12a－32，从而有f(x)的极小值f(x2)－32.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由．解析：(1)易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x＝±1是函数的极值点，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系知：，金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆解析：(1)易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x＝±1是函数的极值点，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系知：－2b3a＝0c3a＝－1，又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.联立上述三式，解得，a＝12，b＝0，c＝－32.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆(2)由(1)得，f′(x)＝32x2－32＝32(x＋1)(x－1)，当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．因此，当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.点评：根据题目的结构特征进行逆向思维，合理地实现问题的转化，挖掘出问题的隐含条件f'(±1)＝0，从而运用待定系数法求得常数a、b、c的值．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆变式迁移3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a，b，c的值．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆解析：依题意有：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵x＝－1时取得极大值7，x＝3时取得极小值，∴－1,3是方程f′(x)＝0的根，根据韦达定理有：－1＋3＝－2a3－1×3＝b3，解得a＝－3，b＝－9，所以f(x)＝x3－3x2－9x＋c，且有f(－1)＝－1－3＋9＋c＝7∴c＝2，∴函数f(x)的极小值f(3)＝－25.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆基础训练1．f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值点的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：y＝f(x)在x＝x0处有极值点时不仅要f'(x0)＝0，而且还要x0左右的增减性相异．答案：C金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-1•(配人教A版)◆祝您