高一数学必修一各章知识点总结技巧解答

第1页共10页高一数学必修1各章知识点总结一、集合1、集合的中元素的三个特性：2、集合的表示方法：列举法与描述法、图示法非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数R二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即SA第2页共10页xB｝．xB})．CSA=},|{AxSxx且性质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c}的真子集共有个3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.4.设集合A=12xx，B=xxa，若AB，则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值第3页共10页二、函数的有关概念1．定义域：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)2．值域:先考虑其定义域3.函数图象常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4．映射可一对一、多对一补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。二．函数的性质1.函数的单调性(局部性质).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；第4页共10页○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”2．函数的奇偶性（整体性质）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．3、求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法4．函数最大（小）值例题：1.求下列函数的定义域：⑴221533xxyx⑵211()1xyx2.设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为__3.若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是4.函数22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx，若()3fx，则x=5.求下列函数的值域：⑴223yxx()xR⑵223yxx[1,2]x第5页共10页(3)12yxx(4)245yxx6.已知函数2(1)4fxxx，求函数()fx，(21)fx的解析式7.已知函数()fx满足2()()34fxfxx，则()fx=。8.设()fx是R上的奇函数，且当[0,)x时,3()(1)fxxx,则当(,0)x时()fx=()fx在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间：⑴223yxx⑵223yxx⑶261yxx10.判断函数13xy的单调性并证明你的结论．11.设函数2211)(xxxf判断它的奇偶性并且求证：)()1(xfxf．第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm，第6页共10页)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）ra·srraa),,0(Rsra；（2）rssraa)(),,0(Rsra；（3）srraaab)(),,0(Rsra．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a10a1654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且值域是)]b(f),a(f[第7页共10页或)]a(f),b(f[；（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；○3注意对数的书写格式．两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．指数式与对数式的互化幂值真数ba＝NlogaN＝b底数指数对数（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：Nalog第8页共10页○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．2、对数函数的性质：a10a132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，函数图象都过定点（1，0）第9页共10页0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．例题：1.已知a0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是()2.计算：①64log2log273;②3log422=；2log227log553125=;③21343101.016])2[()87(064.075.030=3.函数y=log21(2x2-3x+1)的递减区间为4.若函数)10(log)(axxfa在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则a=第10页共10页5.已知1()log(01)1axfxaax且，（1）求()fx的定义域（2）求使()0fx的x的取值范围第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．3、函数零点的求法：○1（代数法）求方程0)(xf的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy．（1）△＞０，方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．