数学建模之数值计算与数据分析

MATLAB6.0数学手册62第2章数值计算与数据分析2.1基本数学函数2.1.1三角函数与双曲函数函数sin、sinh功能正弦函数与双曲正弦函数格式Y=sin(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵，元素可以是复数)中每一个角度分量的正弦值Y，所有分量的角度单位为弧度。Y=sinh(X)%计算参量X的双曲正弦值Y注意：sin(pi)并不是零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已；对于复数Z=x+iy，函数的定义为：sin(x+iy)=sin(x)*cos(y)+i*cos(x)*sin(y)，2ee)zsin(iziz，2ee)zsin(zz例2-1x=-pi:0.01:pi;plot(x,sin(x))x=-5:0.01:5;plot(x,sinh(x))图形结果为图2-1。图2-1正弦函数与双曲正弦函数图函数asin、asinh功能反正弦函数与反双曲正弦函数格式Y=asin(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反正弦函数值Y。若X中有的分量处于[-1,1]之间，则Y=asin(X)对应的分量处于[-π/2,π/2]之间，若X中有分量在区间[-1,1]之外，则Y=asin(X)对应的分量为复数。Y=asinh(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲正弦函数值Y第2章数值计算与数据分析63说明反正弦函数与反双曲正弦函数的定义为：)z1ziln(izsina2，)z1zln(zsinha2例2-2x=-1:.01:1;plot(x,asin(x))x=-5:.01:5;plot(x,asinh(x))图形结果为图2-2。图2-2反正弦函数与反双曲正弦函数图函数cos、cosh功能余弦函数与双曲余弦函数格式Y=cos(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵，元素可以是复数)中每一个角度分量的余弦值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，cos(pi/2)并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。Y=sinh(X)%计算参量X的双曲余弦值Y说明若X为复数z=x+iy，则函数定义为：cos(x+iy)=cos(x)*cos(y)+i*sin(x)*sin(y)，2eezcosiziz，2eezcoshzz例2-3x=-pi:0.01:pi;plot(x,cos(x))x=-5:0.01:5;plot(x,cosh(x))图形结果为图2-3。图2-3余弦函数与双曲余弦函数图函数acos、acosh功能反余弦函数与反双曲余弦函数MATLAB6.0数学手册64格式Y=acos(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反余弦函数值Y。若X中有的分量处于[-1,1]之间，则Y=acos(X)对应的分量处于[0,π]之间，若X中有分量在区间[-1,1]之外，则Y=acos(X)对应的分量为复数。Y=asinh(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲余弦函数Y说明反余弦函数与反双曲余弦函数定义为：)z1iziln(izcosa2，)1zzln(zcosha2例2-4x=-1:.01:1;plot(x,acos(x))x=-5:.01:5;plot(x,acosh(x))图形结果为图2-4。图2-4反余弦函数与反双曲余弦函数图函数tan、tanh功能正切函数与双曲正切函数格式Y=tan(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵，元素可以是复数)中每一个角度分量的正切值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，tan(pi/2)并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。Y=tanh(X)%返回参量X中每一个元素的双曲正切函数值Y例2-5x=(-pi/2)+0.01:0.01:(pi/2)-0.01;%稍微缩小定义域plot(x,tan(x))x=-5:0.01:5;plot(x,tanh(x))图形结果为图2-5。图2-5正切函数与双曲正切函数图第2章数值计算与数据分析65函数atan、atanh功能反正切函数与反双曲正切函数格式Y=atan(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反正切函数值Y。若X中有的分量为实数，则Y=atan(X)对应的分量处于[-π/2,π/2]之间。Y=atanh(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲正切函数值Y。说明反正切函数与反双曲正切函数定义为：ziziln2iztana，z1z1ln21ztanha例2-6x=-20:0.01:20;plot(x,atan(x))x=-0.99:0.01:0.99;plot(x,atanh(x))图形结果为图2-6。图2-6反正切函数与反双曲正切函数图函数cot、coth功能余切函数与双曲余切函数格式Y=cot(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵，元素可以是复数)中每一个角度分量的余切值Y，所有角度分量的单位为弧度。Y=coth(X)%返回参量X中每一个元素的双曲余切函数值Y例2-7x1=-pi+0.01:0.01:-0.01;%去掉奇点x=0x2=0.01:0.01:pi-0.01;%做法同上plot(x1,cot(x1),x2,cot(x2))plot(x1,coth(x1),x2,coth(x2))图形结果为图2-7。图2-7余切函数与双曲余切函数图MATLAB6.0数学手册66函数acot、acoth功能反余切函数与反双曲余切函数格式Y=acot(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反余切函数YY=acoth(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲余切函数值Y例2-8x1=-2*pi:pi/30:-0.1;x2=0.1:pi/30:2*pi;%去掉奇异点x=0plot(x1,acot(x1),x2,acot(x2))x1=-30:0.1:-1.1;x2=1.1:0.1:30;plot(x1,acoth(x1),x2,acoth(x2))图形结果为图2-8。图2-8反余切函数与反双曲余切函数图函数sec、sech功能正割函数与双曲正割函数格式Y=sec(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵，元素可以是复数)中每一个角度分量的正割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，sec(pi/2)并不是无穷大，而是与浮点精度有关的无穷小量eps的倒数，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。Y=sech(X)%返回参量X中每一个元素的双曲正割函数值Y例2-9x1=-pi/2+0.01:0.01:pi/2-0.01;%去掉奇异点x=pi/2x2=pi/2+0.01:0.01:(3*pi/2)-0.01;plot(x1,sec(x1),x2,sec(x2))x=-2*pi:0.01:2*pi;plot(x,sech(x))图形结果为图2-9。图2-9正割函数与双曲正割函数图第2章数值计算与数据分析67函数asec、asech功能反正割函数与反双曲正割函数格式Y=asec(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反正割函数值YY=asech(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲正割函数值Y例2-10x1=-5:0.01:-1;x2=1:0.01:5;plot(x1,asec(x1),x2,asec(x2))x=0.01:0.001:1;plot(x,asech(x))图形结果为图2-10。图2-10反正割函数与反双曲正割函数图函数csc、csch功能余割函数与双曲余割函数格式Y=csc(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵，元素可以是复数)中每一个角度分量的余割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度。Y=csch(X)%返回参量X中每一个元素的双曲余割函数值Y例2-11x1=-pi+0.01:0.01:-0.01;x2=0.01:0.01:pi-0.01;%去掉奇异点x=0plot(x1,csc(x1),x2,csc(x2))plot(x1,csch(x1),x2,csch(x2))图形结果为图2-11。图2-11余割函数与双曲余割函数图函数acsc、acsch功能反余割函数与反双曲余割函数。MATLAB6.0数学手册68格式Y=asec(X)%返回参量X(可以是向量、矩阵)中每一个元素的反余割函数值YY=asech(X)%返回参量X中每一个元素的反双曲余割函数值Y例2-12x1=-10:0.01:-1.01;x2=1.01:0.01:10;%去掉奇异点x=1plot(x1,acsc(x1),x2,acsc(x2))x1=-20:0.01:-1;x2=1:0.01:20;plot(x1,acsch(x1),x2,acsch(x2))图形结果为图2-12。图2-12反余割函数与反双曲余割函数图函数atan2功能四象限的反正切函数格式P=atan2(Y,X)%返回一与参量X和Y同型的、与X和Y元素的实数部分对应的、元素对元素的四象限的反正切函数阵列P，其中X和Y的虚数部分将忽略。阵列P中的元素分布在闭区间[-pi,pi]上。特定的象限将取决于sign(Y)与sign(X)。例2-13z=1+2i;r=abs(z);theta=atan2(imag(z),real(z))z=r*exp(i*theta)feather(z);holdont=0:0.1:2*pi;x=1+sqrt(5)*cos(t);y=sqrt(5)*sin(t);plot(x,y);axisequal;holdoff计算结果为：theta=1.1071z=1.0000+2.0000i图形结果为图2-13。xy-x0y0x0y0x0y0x0y0x0y0x0y0x0y0第2章数值计算与数据分析69图2-13四象限的反正切函数图2.1.2其他常用函数函数fix功能朝零方向取整格式B=fix(A)%对A的每一个元素朝零的方向取整数部分，返回与A同维的数组。对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝零方向的整数部分。例2-14A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];B=fix(A)计算结果为：B=Columns1through4-1.000003.00005.0000Columns5through67.00002.0000+3.0000i函数roud功能朝最近的方向取整。格式Y=round(X)%对X的每一个元素朝最近的方向取整数部分，返回与X同维的数组。对于复数参量X，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝最近方向的整数部分。例2-15A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];Y=round(A)计算结果为：Y=Columns1through4-2.000003.00006.0000Columns5through67.00002.0000+4.0000i函数floor功能朝负无穷大方向取整格式B=floor(A)%对A的每一个元素朝负无穷大的方向取整数部分，返回与A同维的数组。对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与虚MATLAB6.0数学手册70数部分分别取原复数的、朝负无穷大方向的整数部分。例2-16A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];F=floor(A)计算结果为：F=Columns1through4-2.0000-1.00003.00005.0000Columns5through67.00002.0000+3.0000i函数rem功能求作除法后的剩余数格式R=rem(X,Y)%返回结果X-fix(X./Y).*Y，其中X、Y应为正数。若X、Y为浮点数，由于计算机对浮点数的表示的不精确性，则结果将可能是不可意料的。fix(X./Y)为商数X./Y朝零方向取的整数部分。若X与Y为同符号的，则rem(X,Y)返回的结果