22黎曼猜想：跨世纪难题

科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题叶鹰编著内容提要这是一册对著名开放数学难题“黎曼猜想”进行系统阐述的高级科普读物。作者对这一延续近150年的跨世纪难题作了独到诠释，并对7个千禧年数学大奖问题作了介绍。全书风格简明，文笔健朗，将历史故事穿插于数学公式之间，兼顾知识性、趣味性和学术性，既有启发意义，又有研究价值，可供大学生、研究生阅读和数学爱好者参考。跨世纪难题黎曼猜想一览无余千禧年大奖七大问题尽在其中科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题目录序潘云鹤开篇词1比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想比“明珠”更亮的“宝珠”在闪光……2理解黎曼猜想黎曼猜想的表述……3壮志难酬英雄何处一代又一代数学家的努力付之东流……4纯粹数学航标解决黎曼猜想的意义……5解决费马猜想的启示用迂回战术解决黎曼猜想的思路……6激励数学进步的猜想数学猜想小会聚……7未来展望开放难题征解……深入研究参考文献结束语丛书后记Copyright©Y.Ye科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题序科学技术正在以惊人的速度突飞猛进，这一状况导致的后果之一是科学技术前沿离公众能理解和接受的平台越来越远；同时，科学技术也正在以前所未有的深度和广度影响着经济发展和社会生活，这一状况又导致公众对科学技术前沿的关注和了解的热情更加高涨。因此，通过科普著作，拉近公众与科学技术前沿的距离、让公众认识并理解科学技术前沿的精粹，是一项具有重大现实价值和深远意义的工作。科技前沿博学丛书的策划和出版正好能符合这一需求。科技前沿博学丛书包含的黎曼猜想、统一场论、碳笼化学、基因工程、信息科技、纳米技术等，都是科学技术前沿的著名难点和热点。作者采集大量最新信息，以通俗易懂的视角和语言形式将深奥的科学问题与技术成就简明扼要地展现在读者面前，可以说既是对科学技术前沿的发展综述，也是对现有科学技术成果普及化的再组织。出版科技前沿博学丛书是一项具有战略眼光的工作，这套丛书兼顾知识趣味性和学术严谨性，将科技前沿的基础知识和最新进展浓缩在不多的篇幅中，适合现代快节奏生活中的人们阅读，并将在启迪青年学生的科学兴趣方面独具特色，进而为科教兴国做出积极贡献。中国工程院院士浙江大学校长2002年7月12日Copyright©Y.Ye科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题开篇词朋友，您读过徐迟先生的《哥德巴赫猜想》吗？那里说，有一颗“皇冠上的明珠”，至今还无人摘取……而这里，还有一颗更加明亮的“宝珠”，这就是黎曼猜想……也许您将是未来摘取“明珠”和“宝珠”的勇士。本书将告诉您一些往事，增添你的知识和勇气。努力吧，朋友！Copyright©Y.Ye科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题老师又说，自然科学的皇后是数学。数学的皇冠是数论。哥德巴赫猜想，则是皇冠上的明珠。同学们都惊讶地瞪大了眼睛……——引自徐迟《哥德巴赫猜想》1比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想20世纪70年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，唉，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。可是，你知道吗，就在1995年，英国数学家怀尔斯(A.Wiles,1953-)却出人意外地解决了358年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。而当我们仰望那昀高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近150年历史的黎曼猜想(也称黎曼假设)。让我们从1858年讲起吧。1858年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于1859年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。黎曼(G.F.B.Riemann,1826-1866)于1826年9月17日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在6个兄弟姐妹中排行老二。黎曼6岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。14岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C.Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859页的大4开本《数论》，并用6天时间读完了它，大约这就是他对数论感兴趣的开始。1846年春，19岁的黎曼注册进入格廷根大学攻读神学，后转学数学和哲学。1847年春，黎曼转学到柏林大学，在那里就读了两年，师从著名数学家雅可比(C.G.J.Jacob)和狄里赫利(P.G.L.Dirichilet)等。在大师的指导下，黎曼进步很快，神不知鬼不觉地进入世界数学前沿。黎曼先生的论著不多，但却非常深刻。1851年11月，他提交了一篇题为“复变函数一般理论基础”的论文作为博士学位论文，论证了现在通称的“柯西-黎曼条件”，奠定了复变函数论基础，一举通过博士论文答辩，获得博士学位。1854年6月10日，由“数学王子”高斯(K.F.Gauss,1777-1855)任主考官，黎曼发表了题为“论几何学的基本假设”的就职演讲，提出用流形的概念理解空间的实质，创立了黎曼几何，一举通过答辩成为格廷根大学讲师；后于1857年升任副教授；1859年接替狄里赫利任教授。Copyright©Y.Ye科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题就凭上述3篇论著，黎曼奠定了他在数学史上不可替代的伟大地位。黎曼几何后来成为爱因斯坦广义相对论的数学形式而广为传播，以至有人开玩笑说，上帝简直就是专门为爱因斯坦广义相对论准备了黎曼几何。而且，至今没有几个人能像黎曼那样在博士论文中就提出了如此突出的创新思想。1862年，才36岁、新婚不到一个月的黎曼竟然得了胸膜炎，真是祸不单行，他还未完全康复又染上了肺结核，于是格廷根大学用政府经费供他到意大利疗养，四年中，黎曼曾往返德、意两次，病情因外感风寒而恶化，不幸于1866年7月14日逝世于意大利的塞那斯加。黎曼的深邃思想超越了他生活的时代，他在世时并不为数学界所重视。但随着时间的推移，他的思想逐渐辉煌起来，尤其是黎曼几何成为广义相对论的数学表述形式后，影响越来越大，直接左右了19世纪后半叶的数学发展，黎曼也因此名扬世界。黎曼的其他数学创造均被数学界确认无疑，惟有黎曼猜想，却难倒了一代又一代杰出数学家。图1黎曼：黎曼猜想之出谜人顺便说一句，黎曼当年学习和任教的德国格廷根大学是1737年创建的一所优秀的世界一流大学。1795年，当18岁的高斯来到格廷根大学的时候，这里除了数学文献多于别的大学外，还没有明显的数学优势。可是，后来经高斯、高斯的学生黎曼、大数学家克莱因(F.Klein,1849-1925)、希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)、闵可夫斯基(H.Minkowski,1864-1909)和外尔(H.Weyl,1885-1955)等名师的合力创造，格廷根大学很快发展成为19-20世纪的世界数学中心，以格廷根学派扬名数学界，世界上不少一流数学成果与格廷根大学有关，不得不让人刮目相看。2000年5月24日，美国克莱数学会将黎曼猜想作为七个千禧年数学难题之一公开悬赏征解，任何人只要能证明或推翻黎曼猜想，均可在论文公开发表2年并经专家评定认可后获得100万美元奖金，详情请看克莱数学会网站，本书后面也将专门介绍。黎曼猜想被列入其中第四个千禧年大奖难题，您敢一试身手吗？真的，如果把数学比作群山，则数论是其中雄伟的一列山脉。黎曼猜想、哥Copyright©Y.Ye科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题德巴赫猜想和费马猜想就像位于不同山峰之巅的大大小小的宝珠、明珠，在那里闪闪发光。而今，费马猜想已经被怀尔斯摘走，后面就看谁能摘取黎曼猜想和哥德巴赫猜想了。呵呵，比“明珠”更亮的“宝珠”在闪光……那么，黎曼猜想究竟是说什么呢？请继续阅读下一章。这正是：无限风光在险峰，吸引无数攀山人。Copyright©Y.Ye科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题这些是人类思维的花朵。这些是空谷幽兰、高寒杜鹃、老林中的人参、冰山上的雪莲、绝顶上的灵芝、抽象思维的牡丹。——引自徐迟《哥德巴赫猜想》2理解黎曼猜想相对而言，黎曼猜想比数论中的其他猜想要复杂些，因为其他数论猜想很多是关于整数、素数等数字本身的，而黎曼猜想则涉及复变函数，要说清楚必须用数学符号表述。要理解黎曼猜想，首先得从黎曼ζ函数(读作Zeta函数)说起。早在1749年，著名数学家欧拉(L.Euler,1707-1783)就研究了实变量形式的ζ函数，他证明当s1时，下面的恒等式(现在称为欧拉恒等式)成立：∏∑−−∞=−−=psnspn11)1(其中∑叫和号，这里表示从n=1开始、累加至∞；∏叫积号，这里表示对所有p求连乘积。p表示素数，它与整数n1之间由算术基本定理相联系：krrkkpppn...2211=，kr≥1，1≤j≤r，rppp...21而黎曼1859年的创新是将变量s看作复变量，并引进记号：∑∞=−=1)(nsnsζ这就是黎曼ζ函数。其中its+=σ为复变量，其实部记作σ=sRe。当1Re=σs时，在形式上等同于欧拉恒等式。因而所有奇妙的事情将出现在1Re≤=σs范围。使)(sζ=0的点叫做)(sζ的零点。负偶数-2，-4，-6，…都是)(sζ的零点，叫做平凡零点，平凡零点都是实零点；此外发现的所有零点都具有1/2+it形式，叫做非平凡零点，非平凡零点都是复零点。简单地说，黎曼猜想就是想像ζ(s)=0时Res=1/2，即所有非平凡零点都位于2/1=σ这条直线上。这条直线叫做临界线。严格地说，黎曼猜想由黎曼在1859年的那篇著名论文中提出的6个猜想构成：(1))(sζ在带状区域10≤≤σ中有无穷多个零点(亦即)(sζ=0在带状区域10≤≤σ中有无穷多个解)。这种零点叫做非平凡零点。(2)以N(T)表示)(sζ在矩形区域Tt≤≤≤≤0,10σ中的零点个数，则有πππ2/)2/log()2/()(TTTTN−≈(3)以ρ表示)(sζ的非平凡零点，∑表示对所有非平凡零点求和，则级数ρCopyright©Y.Ye科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题∑−ρρ2||收敛，而级数发散。∑−ρρ1||(4)A=-log2和B为常数时，∏−=+ρρρζ/)/1()(sBsAeses。(5))(sζ的全部非平凡零点的实部都是1/2。(6)对于函数，有∑≤≤−++=Λ=xnxJxJxJnnxJ202/))0()0(()(,log/)()()0(log)log)1(()()()(120ζρρ+−+−=∑∫∞−duuuuxLixLixJx这叫黎曼素数公式，其中叫曼哥特(Mangoldt)函数，是对数积分。⎩⎨⎧≥==Λ01,,log)(kpnpnk∫−=xdxxxLi01)(log)(以上6个猜想除(5)外均已被证实，现在就留下猜想(5)未被证明，这就是通常所说的黎曼猜想：令，则∑∞=−=1)(nsnsζ21Re=s其中s是复变量。图2是)(sζ的空间形式图，也许能给读者提供直观想