仪表与自动化(何道清)(二版) 第2章 被控对象的数学模型

第2章被控对象的数学模型2.1被控对象的特点及其描述方法2.2对象数学模型的建立2.3描述对象的特性参数第2章被控对象的数学模型2.1对象的特点及其描述方法1．数学模型自动控制系统由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成，系统的控制质量与组成系统的每一个环节的特性都有着密切关系。被控对象特性对控制质量影响最大。自动控制系统的设计过程：了解对象特性及其内部规律根据工艺对控制质量的要求设计合理的控制系统选择合适的被控变量和操纵变量选用合适的测量元件及控制器自动控制系统。2.1对象的特点及其描述方法自动控制系统运行过程中，根据对象特性选择合适的控制参数（工程整定）系统正常运行。对象的特性:对象的输出输入关系。研究对象的特性：用数学方法描述对象的输出输入关系，即y(t)=f[x(t)]。2.1对象的特点及其描述方法定量地描述对象特性的数学表达式，称为对象的数学模型：稳态数学模型，一般用于工艺设计与分析，产品的产量和规格确定后，通过模型计算确定：设备的结构、尺寸、工艺流程、工艺条件等。动态数学模型，用于控制，工艺流程和设备确定后，研究输入量如何影响输出量，这是研究的主要内容。被控对象的数学建模即对象特性的数学描述。被控对象的输入、输出量如图2-1所示。图2-1对象的输入-输出量2.1对象的特点及其描述方法2.数学模型的表达形式非参量模型—曲线和数据表格。特点：形象、直观、易于看出其定性特性；但对系统的分析、设计困难。获得：实验测取输出量对输入量的响应直接得到。形式：阶跃反应曲线，脉冲反应曲线，矩形脉冲反应曲线，频率反应曲线等。参量模型—数学方程设对象的输入量为x(t)，输出量为y(t)，则对象的特性可用下列微分方程描述：（2-1）txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(2.1对象的特点及其描述方法一般对象可以忽略输入量的导数项，则式(2-1)变为（2-2）对于一阶对象，（2-3）改写成标准形式（2-4）式中，T=a1/a0——对象的时间常数；K=1/a0——对象的放大系数。T、K与对象特性有关，由对象的内部结构机理等决定。)()()()()(01)1(1)(txtyatyatyatyannnn)()()(tKxtydttdyT)()()(01txtyadttdya2.2对象数学模型的建立1．建模的目的对象数学建模的目的在于自动控制系统设计、分析、运行、研究、故障诊断等的需要。建模的方法：机理建模，实验建模，混合建模。2．机理建模根据对象或生产过程的内部机理，写出有关的平衡方程、物性方程及设备的特性方程等。特点：物理意义明确，适应生产，便于参数调整。2.2对象数学模型的建立（1）一阶对象贮槽对象如图2-2所示。被控对象是贮槽，被控变量是物位h（输出量），设阀门2开度不变，阀门1开度可能变化。贮槽阀门截面积为A。贮槽的物料平衡关系：对象物料蓄存量的变化率=单位时间流入对象物料单位时间流出对象的物料。工艺要求：物位h保持一定数值。图2-2贮槽对象2.2对象数学模型的建立当Q1=Q2时，h=常量，系统处于静态。当设阀门2开度不变，阀门1开度变化时，h变化。（讨论问题方便，令Q1、Q2为偏离初始平衡状态的变化值）在dt时间内，Q1Q2dh(Q1Q2)dt=Adh（2-5）dhQ2，设Q2=h/Rs（Rs为出水阀门2的阻力系数），消去Q2(Q1h/Rs)dt=Adh（2-7）整理（2-8）改写为（2-9）式中，T=ARs—对象的时间常数；K=Rs—对象的放大系数。1QRhdtdhARss1KQhdtdhT2.2对象数学模型的建立RC电路RC电路如图2-3所示，设输入信号为ei，输出信为eo，根据基尔霍夫定律可得ei=iR+eo（2-10）电路中的电流强度i为（2-11）联立求解式（2-9）和式（2-10），得（2-12）或（2-13）式中，T=RC—RC电路的时间常数。图2-3RC电路dtdeCioiooeedtdeRCiooeedtdeT2.2对象数学模型的建立（2）积分对象当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例时，称积分对象。图2-2所示的液体贮槽，如果阀门2改为正位移泵，如图2-4所示，则Q2将是常数（不随h而变化），其变化量为0。设Q1为流入量的变化量，那么就有Adh=Q1dt（2-14）对式（2-13）积分，可得（2-15）这就是图2-4所示贮槽的积分特性。dtQAdh11dtQAh11图2-4积分贮槽2.2对象数学模型的建立（3）二阶对象当对象的动态特性可以用二阶微分方程来描述时，该对象称为二阶对象。串联贮槽对象对于图2-5所示的串联贮槽对象，设其输入量是Q1，输出量是h。当输入量、输出量变化很小时，贮槽的液位与输出流量具有线性关系：Q12=h1/R1（2-16）Q2=h2/R2（2-17）式中R1、R2分别表示第一只贮槽的出水阀与第二只贮槽的出水阀的阻力系数。图2-5串联贮槽对象2.2对象数学模型的建立假设两只贮槽的截面积都是A，则有：(Q1Q12)dt=Adh1(2-18)(Q12Q2)dt=Adh2(2-19)改写式（2-18）和式（2-19）（2-20）（2-21）由式（2-21）解得（2-22）将式（2-17）代入式（2-22），然后再代入（2-20）得（2-23）)(11211QQAdtdh)(12122QQAdtdh2212QdtdhAQ)(122211RhdtdhAQAdtdh2.2对象数学模型的建立将式（2-16）、式（2-17）代入式（2-21），并求导，得（2-24）将式（2-23）代入式（2-24），并整理后得（2-25）改写成（2-26）式中，T1=AR1—第一只贮槽的时间常数；T2=AR2—第二只贮槽的时间常数；K=R2—整个对象的放大系数。这是描述串联贮槽对象特性的一个二阶常系数微分方程，说明串联贮槽对象是一个二阶对象。)11(12211222dtdhRdtdhRAdthd12222122221)(QRhdtdhARARdthdARAR122212221)(KQhdtdhTTdthdTT2.2对象数学模型的建立RC串联电路图2-6是由两个形式相同的RC电路串联而成的滤波电路，根据基尔霍夫定律，电路方程为（2-27）（2-28）（2-29）化简、整理以上三个方程，最后得图2-6RC串联电路（2-30）这也是一个二阶常系数微分方程，说明也是一个二阶对象。dtiiCRiei)(121111oeRidtiiC22211)(1dtiCeo221ioeedtdeCRCRCRdtedCRCR02122112022211)(2.2对象数学模型的建立3．实验建模由于工程实际对象及过程复杂，数学建模及其求解困难实验建模（实验测取法）。人为（已知）输入作用到对象仪表测取、记录表征对象特性的物理量（输出量）随时间变化的规律实验数据（曲线）分析处理数学模型。用对象的输入输出特性实测数据来决定其模型的结构和参数，称为系统辨识。其特点是：实验测取法数学建模，视研究的对象为“黑匣子”，从外部特性来测试和描述它的动态特性。如图2-7所示。图2-7对象特性2.2对象数学模型的建立（1）阶跃反应曲线法（输入幅值受限，测取精度较差）对象：简单水槽，如图2-8所示；输入量：输入流量Q1，阀门开度控制其变化；输出量：液位h。tt0时，Q1=Q2，h=Const.；tt0时，阀门1突然开大，输入流量Q1改变幅度为A(流量表测得，一般A取为Q1额定值的5%~10%)，同时液位表测得h=h(t)。如图2-9所示。图2-8简单水槽对象图2-9水槽的阶跃反应曲线2.2对象数学模型的建立（2）矩形脉冲法矩形脉冲干扰输入信号：x(t)=A，(t0tt1)；实验测取对象输出信号：y(t)实验曲线。矩形脉冲法如图2-10所示。输入幅值可以提高图2-10矩形脉冲特性曲线2.2对象数学模型的建立（3）矩形脉冲波（方波）和正弦信号（频率特性）法利用方波和正弦波干扰信号测取对象的动态特性，如图2-11和图2-12所示。图2-11矩形脉冲波信号图2-12正弦波信号2.2对象数学模型的建立实验建模测试过程注意事项：待系统稳定后加测试信号；响应曲线的起始点是输入量作阶跃变化时；测试过程应排除其它干扰因素的影响，须重复多次测试；测试过程应持续到新稳态值为止；选取符合正常工作状态的测试工作点。2.2对象数学模型的建立4．混合建模机理建模+实验建模混合建模机理分析提供数模的结构形式；实验测试确定其未知或不确定参数（参数估计）。综合机理建模和实验建模两者的优点。2.3描述对象特性的参数对象的特性除了用数学模型描述外，在实际工程中常用放大系数K、时间常数T和滞后时间三个物理量（对象的特性参数）来描述。?主要讨论对象在具有一定幅值的阶跃干扰作用下的响应特性。对象特性微分方程特性参数y=f(x)K，T，)()()(tKxtydttdyT2.3描述对象特性的参数1．放大系数K放大系数K在数值上等于对象（重新）处于稳定状态时的输出变化量与（引起输出变化的）输入变化量之比，即简单贮槽对象:输入量的变化量输出量的变化量K图2-13图2-22.3描述对象特性的参数对于图2-2所示的简单贮槽对象，当流入流量Q1有一个Q1的单位阶跃变化后，贮槽对象液位h的变化h，如图2-13所示。在重新达到稳定状态后，一定的Q1对应一定的h值，相应的放大系数K为K=h/Q1或h=KQ1（2-31）2.3描述对象特性的参数放大系数K反映的是对象处于稳态时输出与输入之间的关系，所以它描述的是对象的静态性能，是对象的一个静态参数。实际上应视为对象的静态灵敏度。放大系数K越大，被控量对输入量的的变化就越灵敏。选择自动控制方案时需要考虑此特性，选择操纵变量。例如，合成氨变换炉（图2-14）图2-14一氧化碳转换炉示意图图2-15不同输入作用时的被控变量变化曲线2.3描述对象特性的参数2．时间常数T时间常数T反映被控对象在干扰作用下，被控变量变化的快慢程度，它是描述对象动态特性的参数。对图2-14所示的不同简单贮液槽和不同加热反应器被控对象：当进口流量改变相同时，截面积大的贮液槽液位变化慢，截面积小的贮液槽液位变化快；当蒸汽流量变化相同时，直接蒸汽加热反应器温度变化快，夹套蒸汽加热反应器温度变化快。2.3描述对象特性的参数图2-14不同时间常数对象的响应曲线2.3描述对象特性的参数放大系数K和时间常数T的物理意义对图2-2所示的简单贮槽对象：对象特性：，设阶跃输入作用：，被控变量（输出）h的响应为：（2-32）响应曲线：如图2-15所示。1KQhdtdhTTteKAth1)(0010ttAttQ图2-15简单贮槽对象的阶跃响应曲线2.3描述对象特性的参数放大系数K的物理意义（2-33）由此可见，K是对象受到阶跃输入作用后，被控变量新的稳态值与所加输入量之比——放大系数；是对象受输入作用后重新达到平衡状态时的性能，不随时间变化——静态特性。AhKKAh)()(或2.3描述对象特性的参数时间常数T的物理意义（2-34）或；（2-35）则（2-36）)(632.0632.011)(1hKAeKAeKAThTTTteTKAdtdh0)(0ttdtdhThTKAdtdh2.3描述对象特性的参数时间常数T是指当对象受到阶跃输入作用后，被控变量达到新的稳态值的63.2%所需时间；或当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始变化速度变化，达到新的稳态值的时间。如图2-17所示。时间常数T是反映被控变量变化快慢程度的常数，因此它是对象的一个重要的动态参数。图2