圆与相似的综合运用

1圆与相似的综合运用一、考标要求：（1）灵活掌握与圆有关的概念，定理，性质和判定。（2）充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态型问题、探索型问题，并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计。（3）综合运用圆、方程、函数、三角、相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题．（4）考察了数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法；同时，考查学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力，以及创新意识和实践的能力．二、典例精析例1．如图，点ABCD，，，在O上，ABAC，AD与BC相交于点E，12AEED，延长DB到点F，使12FBBD，连结AF．（1）证明BDEFDA△∽△；（2）试判断直线AF与O的位置关系，并给出证明．ACDEOBF2例2．如图，已知直线y=－m(x－4)（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C.过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P.连结CN、CM.（1）证明：∠MCN=90°；（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积.【反馈练习】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.（1）求证：点E是边BC的中点；（2）若EC=3，BD=62，求⊙O的直径AC的长度；（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.yBTOxACFMNP32．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点COC，与半圆O交于点E，连结BEDE，．（1）求证：BEDC；（2）若58OAAD，，求AC的长．3．（本题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连结OC．（1）求证：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．CAOBED44、如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于AB，两点，A在B的左侧，且OAOB，的长是方程212270xx的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．（1）求⊙M的直径．（2）求直线ON的解析式．yxBMAON图155．如图12－1所示，在ABC△中，2ABAC，90A∠，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．（1）点EF，的移动过程中，OEF△是否能成为45EOF∠的等腰三角形？若能，请指出OEF△为等腰三角形时动点EF，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF∠时，设BEx，CFy，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图12－2），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．图12-1ABCOEF图12-2ABCOEF66．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，ADBC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点EG，是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BFEF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FGBF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．ODGCAEFBP71、解：（1）在BDE△和FDA△中，12FBBD∵，12AEED，23BDEDFDAD∴．又BDEFDA∵，BDEFDA∴△∽△．（2）直线AF与O相切．证明：连结OAOBOC，，．ABACBOCOOAOA∵，，，OABOAC∴△≌△．OABOAC∴．所以AO是等腰三角形ABC顶角BAC的平分线．AOBC∴．由BDEFDA△∽△，得EBDAFD．BEFA∴∥．由AOBE知，AOFA．∴直线FA与O相切．【点评】．这是一道利用圆内的有关性质，得出三角形相似的结论。再次巩固了全等三角形,相似三角形,平行线的知识,得出直线与圆的位置关系．同时同学们在做题的过程中，要注意思维的逻辑性和书写的规范性．2、解（1）证明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径,∴AT、OM是⊙C的切线．又∵MN切⊙C于点P∴∠CMN=12∠OMN，∠CNM=12∠ANM∵OM∥AN∴∠ANM＋∠OMN=180°∴∠CMN＋∠CNM=12∠OMN＋12∠ANM=12(∠OMN＋12∠ANM)=90°,∴∠CMN=90°（2）由（1）可知：∠1+∠2=90°，而∠2+∠3=900，∴∠1=∠3；∴Rt△MOC∽Rt△CAN∴OMAC=OCAN∵直线y=－m(x–4)交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（4，0），∴AC=CO=2∵OM=x，AN=y，∵x2=2y∴y=4x（3）∵OM=1，∴AN=y=4，此时S四边形ANMO=10∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G，则12FG·AN=5，∴FG=52∴点F的横坐标为4－52=32∵M（0，1），N（4，4）∴直线MN的解析式为y=34x＋1∵F点在直线MN上，∴F点的纵坐标为y=178∴F（32,178）∵点F又在直线y=－m(x－4)上∴178=－m(32－4)∴m=1720【点评】这是一道是几何与代数的相结合的中考压轴题．包含了相似的判定和性质，切线的性质等等；在变化中建立函数模型以及面积、坐标与线段之间的巧妙转化．的确是一道覆盖面广，综合性强的妙题．yBTOxACFMNP12G3