经典易错题会诊与试题预测11

第1页经典易错题会诊与试题预测（十一）考点11空间向量►求异面直线所成的角►求直线与平面所成的角►求二面角的大小►求距离►利用空间向量解立体几何中的探索问题►利用空间向量求角和距离经典易错题会诊命题角度1求异面直线所成的角1．（典型例题Ⅰ）如图11-1，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=21AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。[考场错解]第（2）问。∵PA⊥底面ABCD，且∠DAB=90°∴AD、AB、AP两两互相垂直，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1），∴AC=（1，1，0），PB=（0，-2，1），∴cosθ=510||||PBACPBAC∴AC与PB所成的角为arccos(-510).[专家把脉]上述错解中有两个错误：（1）PB的坐标应用B的坐标减P的坐标，∴PB=（0，2，-1）；（2）异面直线所成角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围为（0°，90°），而arccos(-510)为钝角，cosθ=.||||||PBACPBAC[对症下药]（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD平面PCD，∴平面图PAD⊥平面PCD。（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，PA⊥AB，又AD⊥AB，∴可以建立如图所示空间坐标系，则由已知A（0，0，0）、C（1，1，0）、B（0，2，0）、P（0，0，1）∴AC=（1，1，0），PB=（0，2，-1），设AC与PB成角为θ，则cosθ=510||||||PBACPBAC,∴AC与PB所成的角为arccos510.(3)∵M为PB的中点，∴M（0，1，21），∴AM=（0，1，21），AC=（1，1，0）设n1=(x,y,z)为平面AMC第2页的法向量，则n1⊥AM,n1⊥AC,∴y=21z=0,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=2,∴n1=(1,-1,2)为平面AMC的一个法向量，同理可求得n2=(1,1,2)为平面BMC的一个法向量，∴n1、n2的夹角为arccos32,而从图中可看出A-MC-B为钝角，∴二面角A-CM-B的大小为32arccos。2．（典型例题）如图11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=23，AA1=3，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E。（1）求证BD⊥A1C；（2）求二面角A1-BD-C1的大小；（3）求异面直线AD与BC1所成角的大小。[考场错解]第（3）问，由已知AD、DC、DD1两两互相垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系，∴A（2，0，0）、D（0，0，0）、B（2，23，0）C1（0，23，3）∴AD（-2，0，0）1BC=（-2，0，3）。cosθ=||||||11BCADBCAD=,772724∴AD与BC1所成的角为arccos772.[专家把脉]B点坐标计算错误,其实质是位置关系未分析清楚,错误地认为AB⊥AD,BC⊥CD,本题还会出现以BD为x轴,DC为y轴,DD1为z轴的建立坐标系的错误.[对症下药](1)∵ABCD—A1B1C1D1为直四棱柱。∴AA1⊥底面ABCD，∴A1C在底面ABCD上的射影为AC，又由已知AC⊥依三垂线定理可得BD⊥A1C。（2）如图，以D为坐标原点，DA、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。连接A1E1、C1E1、AG1。与（1）同理可证，BD⊥A1E1，BD⊥C1E1，∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角。由A1（2，03）、C1（0，23，3）、E（0,23,23），得,,034943),3,233,23(),3,23,21(111111ECEAECEAECEA即EA1⊥EC1。∴二面角A1-BD-C1的大小为90°。（3）在平面ABCD中，过A作BF⊥AD，交DA的延长线于F，由AD=2，CD=23，得AC=4，∠DAE=60°，∴AE=1，在Rt△AEB中，AB=2，AE=1，∠BAE=60°，在Rt△AFB中AB=2，∠BAF=60°，∴BF=3，AF=1，DF=2+1=3，∴B的坐标为（3，3，0）由第3页D（0，0，0）、A（2，0，0）、C1（0，23，3）、B（3，3，0），得,15||,2||.6),3,3,3(),0,0,2(111BCADBCADBCAD∴cos（AD、1BC）=5151526||||1BCADBCAD，∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos515。本题还可以E为坐标原点，EB、EC分别为x轴和y轴，则z轴与AA1平行，E（0，0，0）、A1（0，-1，3）、C1（0，3，3）B（3，）0，0）、D（3-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐标容易求错。专家会诊利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos,||||||baba关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为（a，0，0），xoz面上的点坐标为（a,0,b）等，其次还应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求B的坐标。考场思维训练1．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2a,高为b，求异面直线AC1和A1B所成的角。答案：如图：∵ABC-A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥平面空间直角坐标系.则A（0，0，0）、A1（0，0，b）、B（a,3a,0）、C1（2a,0,b）,∴),3,(),,0,2(11baaBAbaAC∴cosθ=,,22,4|2|||||||22221111时当bababaBAACBAACAC1与A1B所成的角为arccos,22;422222时当bababaAC1与A1Ba所成的角为π-arccos222242baba.2．如图11-4，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D，BD的中点，G在CD上，且CG=41CD，H为C1G的中点。（1）求证：EF⊥B1C；答案：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知有E（0，0，21）、F（21，21，0）、C（0，1，0）、B1（1，第4页1，1）、G（0，43，0）（1）∵得,0).1,0,1()21,21,21(11CBEFCBEFEF⊥B1C.（2）求EF与C1G所成角的余弦；答案：GC1(0,43,0)-(0,1,1)=(0,-41,-1),∵,83,23||,417||11GCEFEFGC∴cosθ=.17512341783（3）求FH的长。答案：由中点坐标公式，得H的坐标为（0，21,87）又F（21，21，0）,∴FH(-21,83,21),FH=.841||FH3．如图11-5四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；答案：由已知PA⊥平面ABCD，又ABCD为矩形，∴CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD，∴面PAD⊥面PCD.（2）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；答案：A(0,0,0)、P（0，0，1）、D（0，2，0），E为PD中点，∴E(0,1,21)、C（1，2，0），∴,1030256212,cos),1,2,1(),21,1,0(AEPCPCAE∴AE与PC所成角的余弦值为1030（3）在BC边上是否存在一点G，使得D点在平面PAG的距离为1，如果存在，求出BG的值；如果不存在，请说明理由。答案：假设BC边上存在一点G满足D到PAG的距离为1，设G（1，y,0）,则AP=（0,0,1）AG=(1,y,0),设n=(a、b、c)为平面PAG的一个法向量，由n⊥AP,得c=0,由n⊥AG，得a+by=0,令a=1,得b=-y1,∴n=(1,-y1,0)为平面PAG的一个法向量，∴d=1||||nADn,解得y=3,∴BC上存在一点G，BG=3，使得D到平面PAG的距离为1.命题角度2求直线与平面所成的角1．（典型例题）如图在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=KPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP第5页⊥底面ABC。（1）当k=21时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？[考场错解]（1）∵PO⊥OC，PO⊥OB，又AB=BC，O为AC的中点，∴BO⊥OC，∴以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线x、y、z轴建立穿间直角坐标系，则O（0，0，0）、C（0，a,0）其中设AC=2a，A（0，-a,0）P(0,0,a7)、B（a,0,0）∴PA=(0,-a,-7a),PB=(a,0,-7a)PC=(0,a,-7a),设n=（x,y,z）为平面PBC的一个法向量，由n⊥PB,得ax-7az=0,由n⊥PC,得ay-7az=0,令x=1,得z=77,y=1,∴n=(1,1,77)为平面PBC的一个法向量，设PA与平面PBC所成的角为θ，则cosθ=30210||||||nPAnPA.[专家把脉]公式记忆错误,其实质是未能把直线与平面所成的角与向量的夹角联系上,||||||nPAnPA应为直线与平面所成角的正弦值.[对症下药](1)由错解和错因知,设PA与平面PBC所成的角为θ,则cosθ=30210||||||nPAnPA,∴θ=arcsin30210.∴PA与平面PBC所成的角为arcsin30210.(2)设P(0,0,b),则PB=(a,0,-b),PC=(0,a,-b),设G为△PBC的重心,则由穗主坐标公式得G(3,3,3baa),由已知OG⊥平面PBC,∴PBOGPCOG,,得a=b,即PO=a，在Rt△POA中，PA=2a,又AB=2a,∴R=1,∴当k=1时O在平面PBC内的射影为△PBC的重心。2．（典型例题Ⅱ）如图11-7，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。（1）求证EF⊥平面PAB；（2）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。[考场错解]第（2）问，由已知PD⊥CD，PD⊥AD，CD⊥AD，∴建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=a，则AB=2a，可得D（0，0，0）、C（2a，0，0）、A（0，a,0）、B（a,2a,0），以后算出AC的坐标，平面AEF的一个法向量的坐第6页标，利用公式sinθ=||||||nACnAC得出结果。[专家把脉]B的坐标写错，由于本题中所建坐标系与通常所建坐标系在直观上有所不同，其实质还是求点的坐标不熟练所致。[对症下药]（1）连接PE、BE、CF、FD。在Rt△PED中，PE=22PDED，在Rt△BCE中，BE=,22CEBC又由已知AD=BC=PD，CD=ED，∴PE=BE，又F为PB中点，∴EF⊥PB，又在Rt△PBC中，CF=21PB，在Rt△PDB中，DF=21PB，∴CF=DF，∴EF⊥CD，又AB∥CD，∴EF⊥AB，∴EF⊥平面PAB；（2）由已知PD⊥CD，PD⊥AD，又AD⊥CD，所以建立如图11-8所示的空间直角坐标系，设BC=a，则AB=2BC=2a，得D（0，0，0）、C（2a,0,0）、A（0，a,0）B（2a,a,0）、P（0，0，a），由中点坐标公式得E（0,0,22a）