证券投资的数学模型

P1301、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。表一证券信息证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？问题分析这个优化问题的目标是使投资收益最大，要做的决策是投资计划，即分别投资A、B、C、D、E五种证券各多少。决策受到三个条件的限制：政府及代办机构的证券购买、平均信用等级、平均到期年限。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可以得到下面的模型。基本模型决策变量：设分别用x1、x2、x3、x4、x5表示购买A、B、C、D、E五种证券的钱数。目标函数：设获益为z元，则五种证券的收益分别为0.043*1x、0.027*2x、0.025*3x、0.022*4x、0.0225*5x，则总收益可以表示为：z=0.043*10.027*20.025*30.022*40.0225*5xxxxx。约束条件：总购买钱数经理共有1000万资金，即x1+x2+x3+x4+x5=1000.证券购进要求政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即234400xxx平均信用等级所购证券的平均信用等级不超过1.4即1*22*2345*51.412345xxxxxxxxxx化简为：6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;平均到期年限所购证券的平均到期年限不超过5年即1*92*153*44*35*2512345xxxxxxxxxx化简为：4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;非负约束x1、x2、x3、x4、x5均不能为负值。软件实现model:max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;[qianshu]x1+x2+x3+x4+x5=10;[touzhi]x2+x3+x4=4;[dengji]6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;[nianxian]4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;End可得到的结果：（以百万为单位）（一）Globaloptimalsolutionfoundatiteration:0Objectivevalue:0.2983636VariableValueReducedCostX12.1818180.000000X20.0000000.3018182E-01X37.3636360.000000X40.0000000.6363636E-03X50.45454550.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.29836361.000000QIANSHU0.0000000.2983636E-01TOUZHI3.3636360.000000DENGJI0.0000000.6181818E-03NIANXIAN0.0000000.2363636E-02（二）Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesVariableCoefficientIncreaseDecreaseX10.4300000E-010.3500000E-020.1300000E-01X20.2700000E-010.3018182E-01INFINITYX30.2500000E-010.1733333E-010.5600000E-03X40.2200000E-010.6363636E-03INFINITYX50.4500000E-010.5200000E-010.1400000E-01RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecreaseQIANSHU10.00000INFINITY4.567901TOUZHI4.0000003.363636INFINITYDENGJI0.0105.714320.00000NIANXIAN0.010.0000012.00000（1）最优解为x1=218.1818万元，x2=0，x3=736.3636万元，x4=0，x5=45.45455万元，最优值为29.83636万元。（2）由（一）中的影子价格可知，若资金增加100万，收益可增加29.83636万元，而以利率为2.75%借100万的利息小于增加100万购买证券的利益，所以要借100万投资。将模型中的第一个约束条件改为11，得到的结果：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:4Objectivevalue:0.3282000VariableValueReducedCostX12.4000000.000000X20.0000000.3018182E-01X38.1000000.000000X40.0000000.6363636E-03X50.50000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.32820001.000000QIANSHU0.0000000.2983636E-01TOUZHI4.1000000.000000DENGJI0.0000000.6181818E-03NIANXIAN0.0000000.2363636E-02则最优解为x1=240万，x2=0，x3=810万，x4=0，x5=50万，最优值为32.82万元，但借的100万交利息后，利益为30.07万元。（3）由（二）的结果，目标函数的允许范围可知，A的税前收益可增加0.35%，故当A的税前收益增加为4.5%时，投资不应改变。同理，可知C的税前利益可减少0.112%，C的税前收益减少为4.8%时，投资应该变。需要注意的是：一般情况下LINGO给出的敏感性分析结果只是充要条件，只是此时无法通过敏感性分析直接得到结论，而需要重新求解新的模型进行判断。评注本例在投资钱数、等级等参数均可设为常数的情况下，建立了线性规划模型。线性规划模型的三要素是：决策变量、目标函数和约束条件。线性规划模型可以方便地用LINGO软件求解，得到内容丰富的输出，而且利用其中的影子价格和敏感分析，可对模型结果进一步的研究，它们对实际问题常常是十分有益的。