考研数学二历年真题 word

-1-2000年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题1．2．3.4.5.二、选择题6.7.-2-8.9.10.三、解答题11.12.13.14.-3-15.16.17.18.19.-4-20.21.-5-2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1、213lim21xxxxx=（）．2、曲线1)cos(2exyeyx在点（0，1）处的切线方程为：（）．3、xdxxx223cos)sin(22=（）．4、微分方程11arcsin2xyxy满足)(21y=0的特解为：（）．5、方程组211111111321xxxaaa有无穷多解，则a=（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)1、1101)(xxxf则)]}([{xfff=（A）0；（B）1；（C）1101xx；（D）1110xx．2、0x时，)1ln()cos1(2xx是比nxxsin高阶的无穷小，而nxxsin是比12xe高阶的无穷小，则正整数n等于（A）1；（B）2；（C）3；（D）4．3、曲线22)3()1(xxy的拐点的个数为（A）０；（B）１；（C）２；（D）３．4、函数)(xf在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(xf严格单调减小，且)1(f=)1(f=1，则（A）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(xfx；-6-（B）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(xfx；（C）在（1-δ，1）内有)(xfx，在（1，1+δ）内有)(xfx；（D）在（1-δ，1）内有)(xfx，在（1，1+δ）内有)(xfx．5、设函数)(xf在定义域内可导，)(xfy的图形如右图所示：则)(xfy的图形为()三、（本题满分6分）求221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(xf=sinsinsinlim()sinxtxtxtx的表达式，并指出函数)(xf的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x是抛物线xy上任意一点M（yx,）（1x）处的曲率半径，)(xss是该抛物线上介于点A（1，1）与M之间的弧长，计算222)(3dsddsd的值（曲率K＝23)1(2yy）．-7-六、（本题满分7分）)(xf在[0，+）可导，)0(f=0，且其反函数为)(xg．若xxfexdttg2)(0)(，求)(xf．七、（本题满分7分）设函数)(xf，)(xg满足)(xf=)(xg，)(xg=2xe－)(xf且)0(f=0，(0)g=2，求dxxxfxxg02])1()(1)([八、（本题满分9分）设L为一平面曲线，其上任意点P（yx,）（0x）到原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L过点（0.5，0）．1、求L的方程2、求L的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比比例系数K0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(xf在[-a，a]上具有二阶连续导数，且)0(f=01、写出)(xf的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、证明在[-a，a]上至少存在一点，使aadxxffa)(3)(3十一、（本题满分6分）已知011101110,111011001BA且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，求X．十二、（本题满分6分）设4321,,,为线性方程组AX=O的一个基础解系，144433322211,,,tttt，其中t为实常数试问t满足什么条件时4321,,,也为AX=O的一个基础解系．-8-2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数00)(2arcsin12tanxxaexfxexx在0x处连续，则a（）．2．位于曲线xxey（x0）下方，x轴上方的无界图形的面积为（）．3．02yyy满足初始条件21)0(,1)0(yy的特解是（）．4．12lim[1cos1cos1cos]nnnnnn=（）．5．矩阵222222220的非零特征值是（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(uf可导，)(2xfy当自变量x在1x处取得增量1.0x时，相应的函数增量y的线性主部为０．１，则)1(f＝（Ａ）－１；（Ｂ）０．１；（Ｃ）１；（Ｄ）０．５．２．函数)(xf连续，则下列函数中，必为偶函数的是(A)xdttf02)(；(B)xdttf02)(；(C)xdttftft0)]()([；(D)xdttftft0)]()([．３．设)(xfy是二阶常系数微分方程xeqyypy3满足初始条件0)0()0(yy的-9-特解，则极限)()1ln(lim20xyxx(A)不存在；（Ｂ）等于１；(C)等于２；(D)等于３．４．设函数)(xf在R上有界且可导，则(A)当0)(limxfx时，必有0)(limxfx；（Ｂ）当)(limxfx存在时，必有0)(limxfx；(C)当0)(lim0xfx时，必有0)(lim0xfx；(D)当)(lim0xfx存在时，必有0)(lim0xfx．5．设向量组321,,线性无关，向量1可由321,,线性表示，而向量2不能由321,,线性表示，则对于任意常数k必有（Ａ）21321,,,k线性无关；(B)21321,,,k线性相关；（Ｃ）21321,,,k线性无关；(D)21321,,,k线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为cos1r，求该曲线对应于6处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223xxxxxfyxxexe，求函数xdttfxF1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(xf在R上可导，0)(xf，1)(limxfx，且满足xhexfhxxfh11))()((lim0，求)(xf．六、（本题满分７分）求微分方程0)2(dxyxxdy的一个解)(xyy，使得由曲线)(xyy-10-与直线2,1xx以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h应为多少？八、（本题满分８分）设30nx，)3(1nnnxxx（n＝１，２，３，…）．证明：数列｛nx｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0ab，证明不等式abababbaa1lnln222．十、（本题满分8分）设函数)(xf在x＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(fff．证明：存在惟一的一组实数cba,,，使得当0h时，)()0()3()2()(2hofhcfhbfhaf．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足EBBA421．⑴证明：矩阵EA2可逆；⑵若200021021B，求矩阵Ａ．十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321A，4321,,,均为四维列向量，其中432,,线性无关，3212．若4321，求线性方程组Ax的通解．-11-2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若0x时，1)1(412ax与xxsin是等价无穷小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程4ln2yxxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.（3）xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是__________.（4）设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5）设为3维列向量，T是的转置.若111111111T，则T=.（6）设三阶方阵A,B满足EBABA2，其中E为三阶单位矩阵，若102020101A，则B________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A)nnba对任意n成立.(B)nncb对任意n成立.(C)极限nnncalim不存在.(D)极限nnncblim不存在.[]（2）设dxxxannnnn123101,则极限nnnalim等于(A)1)1(23e.(B)1)1(231e.(C)1)1(231e.(D)1)1(23e.[]-12-（3）已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为（A）.22xy(B).22xy(C).22yx(D).22yx[]（4）设函数f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[]yOx（5）设401tandxxxI,dxxxI402tan,则(A).121II(B).121II(C).112II(D).112II[]（6）设向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则(A)当sr时，向量组II必线性相关.(B)当sr时，向量组II必线性相关.(C)当sr时，向量组I必线性相关.(D)当sr时，向量组I必线性相关.[]三、（本题满分10分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin)1ln()(23xxxxxaxxexxaxxfax-13-问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln2112tduueytxtu所确定，求.922xdxyd五、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctandxxxex六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(内具有二阶导数，且)(,0yxxy是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin(322dydxxydyxd变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解.七、（本题满分12分）讨论曲线kxyln4与xxy4ln4的交点个数.八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其