考研数学二历年真题及答案详解_2003―2013李永乐

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）12013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．设2)(),(sin1cosxxxx，当0x时，x（）（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价无穷小（D）与x等价无穷小2．已知xfy是由方程1lncosxyxy确定，则12limnfnn（）（A）2（B）1（C）-1（D）-2３．设]2,[,2),0[,sin)(xxxxf，xdttfxF0)()(则（）（Ａ）x为)(xF的跳跃间断点．（Ｂ）x为)(xF的可去间断点．（Ｃ）)(xF在x连续但不可导．（Ｄ）)(xF在x可导．４．设函数exxxexxxf,ln11,)1(1)(11，且反常积分dxxf收敛，则（）（A）2（B）2a（C）02a（D）20５．设函数xyfxyz，其中f可微，则yzxzyx（）（A）)('2xyyf（B）)('2xyyf（C）)(2xyfx（D）)(2xyfx6．设kD是圆域1|),(22yxyxD的第k象限的部分，记kDkdxdyxyI)(，则（）（A）01I（B）02I（C）03I（D）04I7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）28．矩阵1111aabaa与矩阵00000002b相似的充分必要条件是（A）2,0ba（B）0a，b为任意常数（C）0,2ba（D）2a，b为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．xxxx10)1ln(2lim．10．设函数dtexfxt11)(，则)(xfy的反函数)(1yfx在0y处的导数0|ydydx．11．设封闭曲线L的极坐标方程为663cosrt为参数，则L所围成的平面图形的面积为．12．曲线上21lnarctantytx对应于1t处的法线方程为．13．已知xxxxxxeyxeeyxeey2322231,,是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(yy方程的解为．14．设ijaA是三阶非零矩阵，A为其行列式，ijA为元素ija的代数余子式，且满足)3,2,1,(0jiaAijij，则A=．三、解答题15．（本题满分10分）当0x时，xxx3cos2coscos1与nax是等价无穷小，求常数na,．16．（本题满分10分）设D是由曲线3xy，直线ax)0(a及x轴所转成的平面图形，yxVV,分别是D绕x轴和y数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）3轴旋转一周所形成的立体的体积，若yxVV10，求a的值．17．（本题满分10分）设平面区域D是由曲线8,3,3yxxyyx所围成，求Ddxdyx2．18．（本题满分10分）设奇函数)(xf在1,1上具有二阶导数，且1)1(f，证明：（1）存在)1,0(，使得1'f；（2）存在)1,1(，使得1)()(ff．19．（本题满分10分）求曲线)0,0(133yxyxyx上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．20．（本题满分11）设函数xxxf1ln)(⑴求)(xf的最小值；⑵设数列nx满足11ln1nnxx，证明极限nnxlim存在，并求此极限．21．（本题满分11）设曲线L的方程为)1(ln21412exxxy．（1）求L的弧长．（2）设D是由曲线L，直线exx,1及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标．22．本题满分11分）设bBaA110,011，问当ba,为何值时，存在矩阵C，使得BCAAC，并求出所有矩阵C．23（本题满分11分）设二次型23322112332211321)()(2),,(xbxbxbxaxaxaxxxf．记321321,bbbaaa．数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）4（1）证明二次型f对应的矩阵为TT2；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为22212yy．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221xxyx的渐近线条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数,则(0)f()(A)1(1)(1)!nn(B)(1)(1)!nn(C)1(1)!nn(D)(1)!nn(3)设1230(1,2,3),nnnanSaaaa，则数列nS有界是数列na收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要(4)设20sind,(1,2,3),kxkIexxk则有()(A)123III(B)321III(C)231III(D)213III(5)设函数(,fxy）为可微函数，且对任意的,xy都有(,)(,)0,0,xyxyxy则使不等式1122(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是()(A)1212,xxyy(B)1212,xxyy(C)1212,xxyy(D)1212,xxyy(6)设区域D由曲线sin,,12yxxy围成，则5(1)ddDxyxy()(A)(B)2(C)-2(D)-数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）5(7)设1100cα,2201cα,3311cα,4411cα,其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)123,,ααα(B)124,,ααα(C)134,,ααα(D)234,,ααα(8)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002PAP.若123,,Pααα，1223,,Qαααα则1QAQ()(A)100020001(B)100010002(C)200010002(D)200020001二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设()yyx是由方程21yxye所确定的隐函数，则202xdydx.(10)22222111lim12nnnnnn.(11)设1ln,zfxy其中函数fu可微，则2zzxyxy.(12)微分方程2d3d0yxxyy满足条件11xy的解为y.(13)曲线20yxxx上曲率为22的点的坐标是.(14)设A为3阶矩阵，=3A，*A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则*BA.三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）6程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知函数11sinxfxxx，记0limxafx，(I)求a的值;(II)若0x时，fxa与kx是同阶无穷小，求常数k的值.(16)(本题满分10分)求函数222,xyfxyxe的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:lnLyx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分10分)计算二重积分dDxy，其中区域D为曲线1cos0r与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()fx满足方程()()2()0fxfxfx及()()2xfxfxe,(I)求()fx的表达式;(II)求曲线220()()dxyfxftt的拐点.(20)(本题满分10分)证明21lncos112xxxxx,(11)x.(21)(本题满分10分)(I)证明方程1xxxnn-1+1n的整数，在区间1,12内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为nx，证明limnnx存在，并求此极限.(22)(本题满分11分)设100010001001aaAaa，1100(I)计算行列式A；(II)当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11分)数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）7已知1010111001Aaa，二次型123,,TTfxxxxAAx的秩为2，(I)求实数a的值；(II)求正交变换xQy将f化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。（1）已知当0x时，函数xxxf3sinsin3)(与kcx是等价无穷小，则（）（A）4,1ck（B）4,1ck（C）4,3ck（D）4,3ck（2）设函数)(xf在0x处可导，且0)0(f，则3320)(2)(limxxfxfxx（）（A）)0(2f（B）)0(f（C）)0(f（D）0（3）函数)3)(2)(1(ln)(xxxxf的驻点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（4）微分方程)0(2xxeeyy的特解形式为（）（A）)(xxeea（B）)(xxeeax（C）)(xxbeaex（D）)(2xxbeaex（5）设函数)(xf，)(xg均有二阶连续导数，满足0)0(f，0)0(g，0)0()0(gf则函数)()(ygxfz在点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是（）（A）0)0(f，0)0(g（B）0)0(f，0)0(g数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）8（C）0)0(f，0)0(g（D）0)0(f，0)0(g（6）设40sinlnxdxI，40cotlnxdxJ，40coslnxdxK，则I，J，K的大小关系为（）（A）KJI（B）JKI（C）KIJ（D）IJK（7）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。记1000110011P，0101000012P，则A=（）（A）21PP（B）211PP（C）12PP（D）112PP（8）设),,,(4321A是4阶矩阵，*A为A的伴