中国矿业大学10-11(1)数学分析(1)试卷(A)参考答案

1《数学分析(1)》试卷(A)参考答案一、叙述题(每题5分共30分)1．叙述函数()fx在区间I上无界的定义和AxfIx)(sup的定义.2．叙述极限)(lim0xfxx存在的归结原则.3．叙述极限)(limxfx存在的Cauchy准则，据此再叙述)(limxfx不存在的充要条件.4．分别叙述)(xf在区间I上连续和一致连续的定义.5．叙述函数()fx在点0x可微的定义，并说明函数在一点连续、可导、可微的关系.6．叙述)(xf是区间I上凸函数的定义，并给出可导凸函数的一个充要条件.二、计算题（每题6分共30分）1．求)]11ln([lim2nnnIn.解由归结原则得)1ln(11lim)]11ln([lim202tttxxxItx……………………………321)1(2lim2111lim)1ln(lim000020ttttttttttt…………………………32.求4202coslimxexIxx.解由麦克劳林公式得)(2421cos542xoxxx，………………………………2)(82154222xoxxex，………………………………22)(12cos5422xoxexx.所以求得121)(121limcoslim45404202xxoxxexIxxx.…………………23．设(),1,()10,1gxxfxxx，且(1)(1)0,(1)2ggg，求(1)f.解因为2()(1)()1(1)fxfgxxx，………………2所以由洛必达法则得211()()(1)limlim(1)2(1)xxgxgxfxx…………………211()(1)1lim(1)1212xgxggx.■……………………24.设xeyxxarcsin51cot2，求d.y解y221cot1)1csc(1cot25ln52xxxx211arcsinxexexx………………421cot22111d(5ln52cot(csc)xyxxx21arcsin)d1xxexexx………………25．求155345xxxy在]2,1[上的最大值与最小值.解)3)(1(5152052234xxxxxxy令0y得驻点3,1,0x.计算………………………………310)1(y，1)0(y，2)1(y，7)2(y，3所以最大值2)1(y，最小值10)1(y.■………………………………3三、（10分）设axgx)(lim（a为有限数），)(xf在点a连续，证明：)()]([limafxgfx证因)(xf在点a连续，故0，0，当ax时，有)()(afxf……………3又因axgx)(lim，对上面，0M，当Mx时，有axg)(，从而)()]([afxgf……………4综上，0，0M，当Mx时，有)()]([afxgf，这就证明了)()]([limafxgfx……………3四．（10分）设f在[,)a上连续，且lim()xfx存在.证明f在[,)a上一致连续.证因为lim()xfx存在，由Cauchy准则知：0，Xa，只要,xxX，就有()()fxfx.………………………………3又因为f在[,)a上连续，所以f在[,1]aX上连续，进而在[,1]aX上一致连续.即对上述，)1(，对任何]1,[,Xaxx，只要xx就有)()(xfxf.………………………………4综上，可知0，任何),[,axx，只要xx就有)()(xfxf.即f在),[a上一致连续.■………………………………3五、（10分）、设)(xf在)(0xU连续，在)(00xU可导，证明：如果)0(0xf存在，则)(0xf也存在，且)0()(00xfxf.并由此结论证明，如果)(xf在区间I上可导，则)(xf不存在第一类间断点.【证】)(lim)()(lim)(00000fxxxfxfxfxxxxCauchy中值定理4（其中xx0）.当0xx时，有0x，由假设条件)0(0xf存在，即)0()(lim00xffxx存在.说明)(0xf存在且)0()(00xfxf.同理可证，如果)0(0xf存在，则)(0xf也存在，且)0()(00xfxf.…………………6分下证导函数不存在第一类间断点.对Ix0，如果)0(0xf和)0(0xf都存在，由上述结论和)(0xf存在，知必有)()0()0(000xfxfxf，这说明)(xf在0x点连续.…………………4分六．（10分）设)(xf在],[ba上二阶可导.若有0)()(,0)()(bfafbfaf，则存在),(ba，使得0)(f.证不妨假设0)(),(bfaf，则由导数定义和极限保号性可知，存在2121),,(,xxbaxx，使得0)()(,0)()(21bfxfafxf.……………3而)(xf在],[ba上连续，故由介值定理可知存在),(21xxc，使得0)(cf……………2在],[],,[bcca上对函数应用由罗尔定理，知存在),(),,(21bcca，使得0)()(21ff.……………3那么对函数f在],[21再应用罗尔定理，则存在),(ba，使得0)(f.……………2