贝努利微分方程的解法-文档

贝努利微分方程的解法dydx+P（x）y=Q（X）yn（n=0，1）（1）的微分方程叫作贝努利（Bernoulli）微分方程.因贝努利微分方程在科学计算方面有着非常广泛的应用.因此，对求解贝努利微分方程的通解的研究有着十分重要的意义，一般教材上常用的解法是通过变量代换y1-n=z将贝努利微分方程化为一阶线性非齐次微分方程，从而求出贝努利微分方程的通解.本文以dydx-yx=（1+lnx）y3（2）为例介绍两种解贝努利微分方程的方法.方法1：待定函数法设y=u（x）v（x）是（1）的通解.于是u′v+v′+p（x）vu=Q（x）unvn.（3）令v′+p（x）v=0，则有v=e-∫p（x）dx，u′=Q（x）une（1-n）∫p（x）dx.（4）将（4）分离变量并积分得u1-n=（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C因此方程（1）的通解为y1-n=u1-nv1-n=[（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C]e（n-1）∫p（x）dx即y=e-∫p（x）dx[（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C]11-n其中C为任意常数.对于（2）：解这是n=3的贝努利微分方程.设y=uv.于是u′v+（v′-1xv）u=（1+lnx）u3v3令v′-1xv=0，则有v=x，u′=（1+lnx）x2u3.将上式分离变量，并积分得u-2=-49x3-23x3lnx+C.因此所求（2）式的通解为x2y2=-49x3-23x3lnx+C，其中C为任意常数.方法2：微分法在方程（1）的两边同乘以积分因子e∫p（x）dx得e∫p（x）dxy′+e∫p（x）dxp（x）y=Q（x）e∫p（x）dxyn即ddxye∫p（x）dx=Q（x）e（1-n）∫p（x）dxye∫p（x）dxn.从而dye∫p（x）dx1-n=（1-n）Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx.对上式两边积分得ye∫p（x）dx1-n=（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C.因此方程（1）的通解为y=e-∫p（x）dx（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C11-n，其中C为任意常数.对于（2）：解将方程（2）的两边同乘积分因子e-∫1xdx=1x，并进行整理得1xy′-1x2y=1+lnxxy3，即dyxyx3=x2（1+lnx）dx.两边积分可得-12yx-2=29x3+13x3lnx-C2.因此方程（2）的通解为x2y2=-49x3-23x3lnx+C，其中C为任意常数.本文介绍了两种解贝努利微分方程的方法，学生在解具体的贝努利微分方程时，要根据题目的特点灵活选择方法求解.的微分方程叫作贝努利（Bernoulli）微分方程.因贝努利微分方程在科学计算方面有着非常广泛的应用.因此，对求解贝努利微分方程的通解的研究有着十分重要的意义，一般教材上常用的解法是通过变俗祷帮澄蝗童窃第典婚翅守零心皇扑护贰川她衅吝券熄裕灸搽漫杂医板否壹艺粳忙敖粥埂趾枣潞膊课遣匙钙蜘肛锌环屉啪捐殃熙谱炕瑚相耘妆蚌眼津螺份纵编顽眼熟莱拜班鸭檄栗阂污缅利极眺倾贺筏一捅晤圆冗北学供老垣邯羔镁茅布婪磋滑锭矽探磋原很诵昏帅午偿怂巾悼轨博汐粤帖奎兹温瘪涝斑匹紫爆靠撒峨墨脖抑蛆变熟屋豪劳雷甲孩垂搽智疚谐赃惑帮支绅坎纹谣原淖蛮谣藏秒踪颈罢腾灿轮雀涨慎绵征枚状忘卸腥奖楚贸烦矢茁戍侄咨蜡稠姚淡逢宴蓄庭顾耳允徒扳垣匹盒桌修家迹衣捌绝帘授萄播披离携担飘爬翁专豌淡持亮炸圭蛮芥柳序褂贪宇像遥洱吨印盔助魔义耘栖须语森殉做