3.1.2空间向量的数乘运算

3.1.2空间向量的数乘运算2上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.平面向量空间向量加法减法运算加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则运算律加法交换律abba加法结合律:()()abcabcabba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律()()abcabc注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.3结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。2）涉及空间任意两个向量问题，平面向量中有关结论仍适用它们。ababbb我们知道平面向量还有数乘运算.类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?4数乘空间向量的运算法则例如:a3a2a与平面向量一样,实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量.⑴当0时,a与向量a的方向相同;⑵当0时,a与向量a的方向相反;⑶当0时,a是零向量.一、5显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()()()ababaaaaa即：（）FEDCBA891231P（）、（）、（）练习6acb定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)思考⑴:对空间任意两个向量a与b,如果ab,那么a与b有什么关系?反过来呢?类似于平面,对于空间任意两个向量a,b(0b),a//bR,ab.二、共线向量及其定理71.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使ab.二、共线向量及其定理8思考1:如图,l为经过已知点A且平行非零向量a的直线,如何表示直线l上的任一点P?lAPa注:非零向量a叫做直线l的方向向量.B⑴∵//APa,∴存在唯一实数tR,使APta.∴点P在直线l上唯一实数,tR使APta①⑵对于任意一点O,有APOPOA则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAta②⑶点B在直线l上,且ABa则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAtAB③注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式,即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.O即，P,A,B三点共线。或表示为：(1).OPtOAtOB9三.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb.AabBCPp10思考2:如图,平面为经过已知点A且平行两不共线的非零向量ab、的平面,如何表示平面A上的任一点P呢?OAabBCPp⑴∵APab与、共面,∴唯一有序实数对(,),xy使APxayb.∴点P在平面上∴唯一有序实数对(,),xy使APxayb①⑵∵已知点BC、在平面内且ABa,ACb∴点P在平面上唯一有序实数对(,),xy使APxAByAC②⑶∵已知点BC、在平面内且ABa,ACb,对于空间任意一点O∴点P在平面上唯一有序实数对(,),xy使OPOAxAByAC③注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.11思考3(课本P88思考2)已知空间任意一点O和不共线的三点ABC、、,满足向量关系式OPxOAyOBzOC(其中1xyz)的点P与点ABC、、是否共面?证明:∵OPxOAyOBzOC可变形为(1)OPyzOAyOBzOC,∴()()OPOAyOBOAzOCOA∴APyABzAC∴点P与ABC、、共面.12练习：已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？(1)3OBOMOPOA＋－(2)4OPOAOBOM注意：空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对,,xyMPxMAyMB（）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz其中，13例1.已知ABCD，从平面AC外一点O引向量A,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：四点E、F、G、H共面；BCDOEFGH证明：∵四边形ABCD为∴ACABADEGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH14课堂小结：1.空间向量的数乘运算。2.共线向量的概念与共线向量定理。3.点在直线上的充要条件。4.共面向量的概念与共面向量定理。5.点在平面内的充要条件。15AMCGDB1)2abc（1)3abc（课外思考题:如图,已知空间四边形ABCD中,向量ABa,ACb,ADc,若M为BC的中点,G为BCD△的重心,试用abc、、表示下列向量:⑴DM⑵AG作业:课本106PA组第1、2题16例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111)1(解.11111xACCCCBAB111111)3(2)2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111)1(17例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112)2(BDAD111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD1AC1112)2(ACxBDAD.1x111)3(ACxADABAC18例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111)3(ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)(21AAABAD12AC111)3(ACxADABAC.2x191.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若，则P、A、B共线(B)若，则P是AB的中点(C)若，则P、A、B不共线(D)若，则P、A、B共线OPOAtAB3OPOAABOPOAtABOPOAABA2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()1()1()0()3()3ABCDOMxOAOBOC11＋＋33课外补充练习:D20课外补充练习:1.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面DC