九年级数学总复习第六章圆第26课时与圆有关的概念及性质

第一部分·第六章圆第26课时与圆有关的概念及性质考点一与圆有关的概念1.圆的性质:圆是轴对称图形,任意一条直径所在直线都是它的对称轴;圆又是中心对称图形,它的对称中心是圆心.2.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.3.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.4.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.5.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,直径两端点之间的弧叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.弧的度数等于它所对的圆心角的度数.半圆所对的圆心角等于180.6.弦心距*:圆心到弦的垂线段的长度叫做这条弦的弦心距.在同圆或等圆中,如果弦相等,那么弦心距也相等;弦越大,弦心距越小;直径的弦心距等于0.考点一与圆有关的概念7.圆心角、弧、弦和弦心距的关系(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.(2)推论:①在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;②在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.考点点拨在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距,如果其中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等.考点二垂径定理及其推论1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.2.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.考点点拨如果一条直线满足如下五个结论中的任意两个,那么其他三个结论一定成立:①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦(被平分的弦不能是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.例如:(i)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(ii)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.考点三圆周角定理及其推论考点点拨1.圆周角定义:顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫做圆周角.常见图形:2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论:(1)同弧(或等弧)所对的圆周角相等.(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径,所对的弧是半圆.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.考点四与圆有关的多边形1.圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.圆内接四边形性质:圆内接四边形对角互补,每个外角等于与它相邻的内角的对角,简称:外角等于它的内对角.命题点一垂径定理及其运用——命题角度1求弦长典例1(2016莆田,15改编)如图,CD为☉O的弦,直径AB为4,AB⊥CD于点E,∠A=30°,则CD的长为.思路解题方法圆中“铁三角”在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和圆心到该弦的垂线段可谓是圆中的“铁三角”,它们构成了以半径为斜边的直角三角形,这种密切的关系是解决圆中有关弦、弦心距和半径的计算问题的关键.命题点一垂径定理及其运用——命题角度2求半径典例2(2017湖南长沙,15)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为.思路连接OC,得直角三角形OCE.设☉O的半径为r,则OE=r-1.根据垂径定理,得CE=3,由勾股定理,可得关于r的方程,解之即可.解题方法巧用方程思想进行圆中有关弦、弦心距和半径的计算时,如果这三者的大小相互制约,除了需要运用垂径定理和勾股定理外,还应注意方程思想的运用,通过设元,再由勾股定理列方程解之.5变式训练1命题点一垂径定理及其运用——命题角度2求半径典例2(2017新疆建设兵团,9)如图,☉O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接BE,CE.若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为解析变式训练1A.12B.15C.16D.18(2017湖北黄冈,6)已知,如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为A.30°B.35°C.45°D.70°命题点二圆周角定理及其推论——命题角度1运用圆周角与圆心角关系求角的度数典例3变式训练2思路解题方法找等弧求角度在圆中求角的度数时,常常需要运用圆周角定理,利用同弧或等弧所对的圆周角相等,且等于圆心角的一半进行角的转换.而在求弧相等时要注意垂径定理中“平分弧”的运用.典例4(2017云南,14)如图,B,C是☉A上的两点,AB的垂直平分线与☉A交于E,F两点,与线段AC交于D点.若∠BFC=20°,则∠DBC=命题点二圆周角定理及其推论——命题角度1运用圆周角与圆心角关系求角的度数典例3思路根据“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”可知∠A=2∠BFC=40°,从而可得等腰三角形ABC的底角∠ABC=70°.又EF垂直平分AB,所以DA=DB,所以∠ABD=∠A=40°,故可求得∠DBC的度数.变式训练2典例4A.30°B.29°C.28°D.20°命题点二圆周角定理及其推论——命题角度1运用圆周角与圆心角关系求角的度数典例3易错考点以弦换弧常致错由于一个圆周角所对应的弧和弦都是唯一的,因此,在运用同弧(或等弧)所对圆周角相等时,常常以弦换弧,错误地以为“同弦或等弦”所对圆周角相等.注意一条弦所对的圆周角有相等或互补两种情形.变式训练2典例4命题点二圆周角定理及其推论——命题角度1运用圆周角与圆心角关系求角的度数典例3解析变式训练2典例4A.92°B.108°C.112°D.124°(2017福建,8)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上位于AB异侧的两点,下列四个角中,一定与∠ACD互余的是命题点二圆周角定理及其推论——命题角度2运用直径所对圆周角是直角来求角的度数典例5思路由AB为直径,得∠ADB=90°,从而可得图中互余的两角.再根据“同弧所对圆周角相等”可知与∠ACD相等的角是∠B,从而确定一定与∠ACD互余的角.变式训练3A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD命题点二圆周角定理及其推论——命题角度2运用直径所对圆周角是直角来求角的度数典例5变式训练3解题方法运用半径、直径、圆周角之间的关系求角的度数在解答直径条件下的求角问题时,一般要运用“直径所对的圆周角是直角”,把直径条件转化为直角;在没有该直径所对的圆周角时往往要作出圆周角,或根据半圆的度数为180°直接求解.当题目给出的是半径条件时,常常要将半径延长成直径.命题点二圆周角定理及其推论——命题角度2运用直径所对圆周角是直角来求角的度数典例5变式训练3(2017山东青岛,6)如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为A.100°B.110°C.115°D.120°解析连接BE,则∠AEB=90°,∵∠AED=20°,∴∠BED=70°,∴∠BCD=110°.命题点二圆周角定理及其推论——命题角度3在直径条件下的综合题典例6变式训练4典例6(2016厦门,26)已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,点D在半径OA上(不与点O,A重合).(1)如图(1),若∠COA=60°,∠CDO=70°,求∠ACD的度数;(2)如图(2),点E在线段OD上(不与点O,D重合),CD,CE的延长线分别交☉O于点F,G,连接BF,BG,点P是CO的延长线与BF的交点,若CD=1,BG=2,∠OCD=∠OBG,∠CFP=∠CPF,求CG的长.命题点二圆周角定理及其推论——命题角度3在直径条件下的综合题典例6变式训练4思路(1)先求出∠CAD的度数,然后根据∠ACD=∠CDO-∠CAD即可求解.(2)连接AG,延长CP交BG于点Q,交☉O于点H,令CG交BF于点R.先证明△COD≌△BOQ(ASA),根据全等性质可得BQ,进而得到GQ,再证明△OQB为等腰直角三角形,从而得出CQ的长,最后在Rt△CGQ中根据勾股定理即可得到CG的长.解析(1)∵OA=OC,∠COA=60°,∴△ACO为等边三角形,∴∠CAD=60°.又∵∠CDO=70°,∴∠ACD=∠CDO-∠CAD=10°.(2)连接AG,延长CP交BG于点Q,交☉O于点H,令CG交BF于点R,如图所示.在△COD和△BOQ中,∵∠OCD=∠OBQ,OC=OB,∠COD=∠BOQ,命题点二圆周角定理及其推论——命题角度3在直径条件下的综合题典例6变式训练4命题点二圆周角定理及其推论——命题角度3在直径条件下的综合题典例6变式训练4考点点拨直径条件下的综合题往往具有一定的难度,考查的是同学们分析问题和解决问题的能力.在分析过程中要注意一系列定理的综合运用,比如垂径定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、半径相等、同弧或等弧所对的圆周角相等,同时还要注意三角形全等和相似的判定等.命题点二圆周角定理及其推论——命题角度3在直径条件下的综合题典例6变式训练4(2017浙江台州,22)如图,已知等腰直角三角形ABC,P是斜边BC上一点(不与B,C重合),PE是△ABP的外接圆☉O的直径.(1)求证:△APE是等腰直角三角形;(2)若☉O的直径为2,求PC2+PB2的值.解析(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°.∵PE是☉O的直径,∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.命题点二圆周角定理及其推论——命题角度3在直径条件下的综合题典例6变式训练4(2)∵PE为☉O的直径,∴∠PBE=90°.∵△ABC和△APE是等腰直角三角形,∴AC=AB,AP=AE,∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,∴△CAP≌△BAE,∴PC=BE,在Rt△BPE中,PE=2,∴PB2+BE2=PE2=4.∴PC2+PB2=4.命题点三与圆有关的多边形——命题角度圆内接四边形典例7变式训练5解析命题点三与圆有关的多边形——命题角度圆内接四边形典例7(2017福州质检)如图,锐角三角形ABC内接于☉O,E是CB延长线上一点,连接AE交☉O于D,∠E=∠BAC,连接BD.(1)求证:∠DBE=∠ABC;(2)若∠E=45°,BE=3,BC=5,求△AEC的面积.变式训练5(1)证明:∵四边形ADBC为☉O的内接四边形,∴∠DBC+∠EAC=180°.又∵∠EBD+∠DBC=180°,∴∠DBE=∠EAC=∠BAE+∠BAC.∵∠E=∠BAC,∴∠ABC=∠E+∠BAE=∠BAC+∠BAE,∴∠DBE=∠ABC.解析命题点三与圆有关的多边形——命题角度圆内接四边形典例7变式训练5