第二章-3-厚壁圆筒应力分析

1第二章压力容器应力分析第三节厚壁圆筒应力分析第三节厚壁圆筒应力分析CHAPTERⅡSTRESSANALYSISOFPRESSUREVESSELSCHAPTERⅡSTRESSANALYSISOFPRESSUREVESSELS2过程设备设计过程设备设计教学重点：（1）厚壁圆筒中三向应力的公式表达和应力分布图；（2）厚壁圆筒中的弹塑性区的应力分布；（3）提高屈服承载能力的措施。教学难点：厚壁圆筒中三向应力公式推导。2.3厚壁圆筒应力分析2.3厚壁圆筒应力分析3过程设备设计过程设备设计2.3.1弹性应力2.3.2弹塑性应力主要内容主要内容2.3.3屈服压力和爆破压力2.3.4提高屈服承载能力的措施2.3厚壁圆筒应力分析4过程设备设计过程设备设计厚壁容器：厚壁容器：2.11.1/−ioDD应力特征：应力特征：应力特征：应考虑径向应力，是三向应力状态；应力沿壁厚不均匀分布；若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。应考虑径向应力，是三向应力状态；应力沿壁厚不均匀分布；若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。分析方法：分析方法：分析方法：静不定问题，需平衡、几何、物理等方程联立求解静不定问题，需平衡、几何、物理等方程联立求解2.3厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒分单层式和组合式两种，本书将只分析单层厚壁圆筒的弹性应力、弹塑性应力、屈服应力和爆破压力。5过程设备设计过程设备设计2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）一、压力载荷引起的弹性应力一、压力载荷引起的弹性应力二、温度变化引起的弹性热应力二、温度变化引起的弹性热应力有一两端封闭的厚壁圆筒（图2-15），受到内压和外压的作用，圆筒的内半径和外半径分别为Ri、Ro，任意点的半径为r。以轴线为z轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中的三向应力。2.3厚壁圆筒应力分析ipop6过程设备设计过程设备设计2.3.1弹性应力2.3.1弹性应力b.c.d.pia.popimnm1n1RiRom1n1mnrθθr+drdrdrrdrpopip0图2-15厚壁圆筒中的应力DiDoθ2.3厚壁圆筒应力分析轴向应力平衡方程7过程设备设计过程设备设计一、压力载荷引起的弹性应力一、压力载荷引起的弹性应力一、压力载荷引起的弹性应力对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：1.轴向（经向）应力()22020022200202iiiiiizRRRpRpRRpRpR−−=−−=πππσ（2-25）＝A2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）图2-15zσ8过程设备设计过程设备设计2.周向应力与径向应力由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。a.微元体b.平衡方程c.几何方程：微元体位移与应变之间的关系。（用位移法求解）d.物理方程：弹性范围内，微元体的应变与应力的关系e.平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程（求解微分方程，积分，边界条件定常数）应力2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）9过程设备设计过程设备设计a.微元体如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组成，微元在轴线方向的长度为1单位。b.平衡方程()()02sin2=−−++θσθσθσσθddrrdddrrdrrrdrdrrrσσσθ=−（2-26）2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）图2-15微元体平衡方程tpRR=+21θϕσσ薄壁微元平衡方程。拉普拉斯方程/2dθθ≈sin(d/2)10图2-16厚壁圆筒中微元体的位移c.几何方程(应力－应变）过程设备设计过程设备设计2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）11过程设备设计过程设备设计c.几何方程（续）径向应变周向应变变形协调方程()rdddrdrωωωωε+−==()rdrdrdrθωθθωεθ+−==()θθεεε−=rrdrd1（2-27）（2-28）2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）12过程设备设计过程设备设计d.物理方程()[]()[]zrzrrEEσσμσεσσμσεθθθ+−=+−=11（2-29）2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）13过程设备设计过程设备设计e.平衡、几何和物理方程综合求解应力的微分方程将式（2-28）中的应变换成应力并整理得到：0322=+drddrdrrrσσ2rBAr−=σ2rBA+=θσ解该微分方程，可得的通解。将再代入式（2-26）得。rσrσθσ（2-33）2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）14过程设备设计过程设备设计边界条件为：当时，；当时，。iRr=irp−=σ0Rr=0pr−=σ由此得积分常数A和B为：2202002iiiRRRpRpA−−=()2202020iiiRRRRppB−−=2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）15过程设备设计过程设备设计周向应力径向应力轴向应力()22220202022020021rBArRRRRppRRRpRpiiiiii+=−−+−−=θσ()22220202022020021rBArRRRRppRRRpRpiiiiiir−=−−−−−=σARRRpRpiiiz=−−=2202002σ（2-34）称Lamè（拉美）公式2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）16过程设备设计过程设备设计仅受内压po=0仅受外压pi=0任意半径r处内壁处r=Ri外壁处r=Ro任意半径r处内壁处r=Ri外壁处r=Rorσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−22211rRKpoiip−0⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−222211rRKKpio0op−θσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−22211rRKpoi⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+1122KKPi⎟⎠⎞⎜⎝⎛−122Kpi⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−222211rRKKpio⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1222KKpo⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−1122KKpozσ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−112Kpi⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−122KKpo受力情况位置应力分析表2-1厚壁圆筒的筒壁应力值2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）当仅有内压或外压作用时，拉美公式可以简化，此时，厚壁圆筒应力值和应力分布分别如表2－1和图2－1717过程设备设计过程设备设计rzrz12−=Kipzσ0min=rσipr−=maxσ121max2−+=KKpiθσ122min−=Kpiθσ0min=rσ0maxpr−=σ1220−−=KKpzσ121min20−+=KKpθσ122max20−−=KKpθσ图2-17厚壁圆筒中各应力分量分布(a)仅受内压(b)仅受外压=--2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）18过程设备设计过程设备设计从图2-17中可见，仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：①周向应力及轴向应力均为拉应力（正值），径向应力为压应力（负值）。θσzσrσ2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）19过程设备设计过程设备设计②在数值上有如下规律：内壁周向应力有最大值，其值为：外壁处减至最小，其值为：内外壁之差为；θ径向应力内壁处为，随着增加，径向应力绝对值逐渐减小，在外壁处=0；轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力和的一半，即σ1122max−+=KKpiθσ122min−=Kpiθσθσipip−rrσ()rzσσσθ+=212.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）20过程设备设计过程设备设计③除外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。以为例，外壁与内壁处的周向应力之比为：K值愈大不均匀程度愈严重，当内壁材料开始出现屈服时，外壁材料则没有达到屈服，因此筒体材料强度不能得到充分的利用。zσθσθσ()()1220+===KiRrRrθθσσ2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）21过程设备设计过程设备设计二、温度变化引起的弹性热应力二、温度变化引起的弹性热应力1.热应力2.厚壁圆筒的热应力3.内压与温差同时作用引起的弹性应力4.热应力的特点2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）22过程设备设计过程设备设计1.热应力1.1.热应力热应力因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内所引起的应力，称为热应力。2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）（a）自由膨胀图2-18热应变23过程设备设计过程设备设计1.热应力1.1.热应力热应力2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）单向约束：tEtyΔ−=ασ（2－35）（b）单向约束图2-18热应变24双向约束：μασσ−Δ−==1tEtytx（2－36）过程设备设计过程设备设计1.热应力1.1.热应力热应力2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）（c）双向约束图2-18热应变25三向约束：μασσσ21−Δ−===tEtztytx（2－37）过程设备设计过程设备设计1.热应力1.1.热应力热应力2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）同理，可求得三向约束时的热应力：在一维、二维、三维约束时，根据式（2－35）—式（2-37），图2-19给出了碳素钢在不同初始温度下，温度增加1时的热应力值：刚性约束下，热应力比值（μ＝0.3）：三维/二维/一维=2.50/1.43/1.000C26过程设备设计过程设备设计1.热应力1.1.热应力热应力2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）图2-19碳素钢的热应力值27过程设备设计过程设备设计2.厚壁圆筒的热应力2.2.厚壁圆筒的热应力厚壁圆筒的热应力求厚壁圆筒中的热应力，首先确定筒壁的温度分布，再由平衡方程、几何方程和物理方程，结合边界条件求解。当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时，稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：（详细推导见文献[11]附录）2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）28过程设备设计过程设备设计2.厚壁圆筒的热应力（续）2.2.厚壁圆筒的热应力厚壁圆筒的热应力（续）()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−Δ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+−−Δ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−−Δ=12lnln211211lnln1211lnln11222222KKKtEKKKKtEKKKKtErtzrrtrrrtμασμασμασθ轴向热应力径向热应力周向热应力(2-38)2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）29过程设备设计过程设备设计厚壁圆筒各处的热应力见表2-2，表中()μα−Δ=12tEPt厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。2.3厚壁圆筒应力分析2.3.1弹性应力（续）2.3.1弹性应力（续）2.厚壁圆筒的热应力（续）2.2.厚壁圆筒的热应力厚壁圆筒的热应力（续）ottΔ筒体内外壁的温差，0ttti−=ΔiRRK0=rRKr0=K筒体的外半径与内半径之比，Kr筒体的外半径与任意半径之比，上式中：——内壁面温度——外壁面温度itot30过程设备设计过程设备设计热应力任意半径r处圆筒内壁KKr=处圆筒外壁1=rK处trσ()11lnln22−−+−KKKKtrrp00tθσ()11lnln122−+−−KKKKtrrP()12ln122−−KKKtP()12ln12−−KKtPtzσ()12lnln212−−−KKKtrP()12ln122−−KKKtP()12ln12−−KKtP表2-2厚壁圆筒中的热应力2.3厚壁圆筒应力分析2