5.6.2-余弦定理和解斜三角形2017.3.14

第五章三角比5.6.1正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.2余弦定理和解斜三角形1sin21sin21=sin2ABCbcAabSaCcB面积公式sinsinsinabcABC正弦定理06,45,ABCcA中，例3已知在2,,abBC求和分析：两边一对角133aaa思考：(1)当时，如何？(2)当时，如何？(3)当时，如何？sin()sin1,sinbsin1,sincsin1,(0,)()bAaBabABabABaAB若无解。若有唯一解。若在上有两解，但其中与已知角或的和小于，才合要求，否则舍去。方案1：利用正弦定理两边一对角判断解的个数的方法：（A,a,b）已知a、b和A，解三角形的情况：1）为锐角AbAa0sinabAC无解AaCb一解sinabAAaCb两解sinbAabaACb一解abab方案2数形结合（尺规作图）AACb无解abaACb一解aba2）为直角或钝角已知a、b和A，解三角形的情况：应用正弦定理可以解决的解三角形问题①已知三角形的任意两角及其一边可以求其它的角和边②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其它的角和边对于已知两边一对角的题型，利用正弦定理求角有可能会出现两解的情况，但是两个解不一定都符合题意，可以通过分析三角形大边对大角的理论或者与已知角求和大于180°来进行取舍。扩充的正弦定理sinsinsinabcABCR为外接圆半径应用：在三角形中，R为ΔABC的外接圆半径，S是三角形面积证明：2(1)4(2)2sinsinsinabcSRSRABC2R所以，=2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC已知a，b，c，A,如图，以△ABC的顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系。设a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边长，CD为AB边上的高，则点B、C的坐标分别为（c，0）、（bcosA、bsinA）AyxCDOBabc问题：图中a与已知量之间到底有何关系呢？AyxCDOBabca2=(bcosA-c)2+b2sin2A=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A=b2-2bccosA+c2即a2=b2+c2-2bccosA同理可得b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC余弦定理a2=|BC|2点B、C的坐标分别为（c，0）、（bcosA、bsinA）余弦定理三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去2222coscababCAabcCB这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2222cosabcbcA2222cosbacacB另一种形式：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab注意：1、熟悉定理的形式结构特点，注意“平方”“夹角”“余弦”等2、每个等式中包含四个量，它们分别是三角形的三条边和其中一角，知三求一3、当∠C＝90时，则cosC＝0，∴c2＝a2＋b2，即余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.222090cbaA222090cbaA222090cbaA例1.在中，求ABC6,31,45abC解：22(6)(31)26(31)cos4542222coscababC2c222cos2bcaAbc60A.cAB、、222(31)2(6)1=22(31)2180()180(4560)BAC75例2、已知三角形的三边之比为3:5:7，求此三角形的最大内角.设三边长分别为3x,5x,7x,x0,则长为7x的边是最大边，它所对的角应该是最大角，设为利用余弦定理及其变形(I)已知两边及夹角(II)已知三边，求角.可以解决以下三类解三角形问题：(III)已知两边及一边的对角例3.在中，已知，此三角形的面积为12，求的长度.ABC8,5abc例4.在中，已知，求各解:120C36.6A角及其面积(精确到0.1)ABC3,2,19abc222cos2abcCab22232(19)23212同理，得222cos0.5962bcaAbc180()180(12036.6)BAC23.41sin2SabC13322.622解毕,60,30BbABC中，。练习：已知在CAac,,1和求分析：两边一对角【变式】在02,135,3,ABCaAbB中，求课堂练习1.解三角形(角度精确到，边长精确到1cm)1(1)45,30,10ACccm(2)60,45,20ABccm2.解三角形(角度精确到，边长精确到1cm)1(1)20,11,30acmbcmB(2)54,39,115ccmbcmC3.在中，已知coscoscosabcABCABC试判断的形状.ABC课堂练习1.解三角形(角度精确到，边长精确到1cm)1(1)5,2,60bcmccmA(2)10,24,26abc2.已知中，，求ABC8,7,60abBc3.在中，是锐角，求证：CABC222abc课堂练习答案1.(1)4,97,23acmBC(2)23,67,90ABC2.1203.解：2222cosabcbcA28150cc解得123,5cc4.证：2222cos0abcabC222abc证毕一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做利用余弦定理及其变形(I)已知两边及夹角，求夹角的对边；(II)已知三边，求角.解三角形三角形的元素，元素的过程叫做解三角形.可以解决以下两类解三角形问题：已知三角形的几个元素求其他(III)已知两边及一边的对角，求边.