图形的相似与位似

1第33课时图形的相似与位似一、【教学目标】1．了解比例的基本性质，线段的比，成比例线段，黄金分割；2．了解图形的相似；3．理解相似图形的性质；4．理解两个三角形相似的性质及判定，直角三角形相似的判定；5．了解位似及应用；6．掌握相似的应用．二、【重点难点】重点：相似图形的性质与判定，相似的应用．难点：相似的应用．三、【主要考点】（一）、比例线段1.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段.2.比例的基本性质：若acbd，那么adbc.3.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.4.黄金分割：点C在线段AB上，若AC2AB·BC，点C为AB的黄金分割点.此时，ACAB.（二）、相似三角形1.性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.2.判定：（1）平行于三角形一边的直线与其它两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）两角对应相等的两个三角形相似；（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（4）三边对应成比例的两个三角形相似.(注意：相似三角形具有传递性，即甲∽乙，乙∽丙，则甲∽丙)（三）、位似1.定义：对应点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，这点叫作位似中心，这时相似比又称为位似比.2.性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比；（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k.2四、【经典题型】【33-1A】如图1，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：．图1解：∵BP∥DE，∴△ABP∽△AED；∵BE∥CD，∴△BEF∽△CDF；∵BF∥AD，∴△BEF∽△AED利用相似三角形的传递性，还可以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP等.答案不唯一.温馨提示：遇平行线，通常用“平行于三角形的一边的直线与其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”进行判断.需注意的是本题为开放型题目，答案不唯一，要注意认真审题明确要求从图中找出一组相似的三角形即可．【33-2A】⑴已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，则△ABC与△DEF的相似比为.⑵如图2，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB6，AE9，DE2，求EF的长.解：⑴根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”易求△ABC与△DEF的相似比为4∶25，即2∶5.⑵∵△ABE∽△DEF，∴DFAEDEAB，DF926，∴DF=3.在Rt△DEF中，EF=22DFDE223213.温馨提示：相似三角形“对应边成比例”这一性质反映出图形中线段的数量关系，常作为得到图形中两个量之间的函数关系的重要根据，所以相似三角形在几何与代数相结合类综合题中出现较多．【33-3B】亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图3，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D.然后测出两人之间的距离CD1.25m，颖颖与楼之间的距离DN30m(C、D、N在一条直线上)，颖颖的身高BD1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？解：如图5，过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F.由已知可得FNEDAC0.8m，AECD1.25m，EFDN30m.∵∠AEB∠AFM90.又∠BAE∠MAF，∴△ABE∽△AMF.∴AFAEMFBE.即MF8.06.13025.125.1.图2ABCDEF图3MNBACDFE3解得MF20(m).∴MNMFFN200.820.8(m).答：住宅楼高为20.8m．温馨提示：利用相似三角形的性质，可以求解某些距离和物体长度的问题.在解决问题时一定要找准对应关系．【33-4A】在如图4所示的13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．图4图5解：（1）如图5所示：△A′B′C′即为所求.（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．温馨提示：如果不受图形的局限，本题答案有两种情形，也可反向作△ABC的位似图形．五、【点击教材】【33-5B】（九上P93/2）如图6，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=80cm，EF=40cm，测得AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D∴△DEF∽△DCB∵DE=80cm=0.8m，∴DEDCEFBCEF=40cm=0.4m，AC=1.5m，CD=8m，∴8.084.0BC∴BC=4米，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，答：树高AB为5.5m.【33-6B】（九上P104/14）如图7，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，请说明理由．解：∵正方形ABCD边长是2，BE=CE，∴BE=1，∴AE=5122222BEAB图7图64①假设△ABE∽△NDM，②∴DM：BE=MN：AE．③∴DM=55511AEMNBE②假设△ABE∽△MDN，∴DM：BA=MN：AE．∴DM=552512AEMNBA∴DM=55或552是，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。六、【链接中考】【33-7A】（2014•娄底）如图8，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为m．解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．温馨提示：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．【33-8C】（2015·广东）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．解：（1）如图，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC•AC=AB•CD．图9图85图11∴CD===4.8．∴线段CD的长为4.（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，由题可知DP=t，CQ=t．则CP=4.8﹣t．∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．∴．∴．∴PH=﹣t．∴S△CPQ=CQ•PH=t（﹣t）=﹣t2+t．②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．∵S△ABC=×6×8=24，且S△CPQ：S△ABC=9：100，∴（﹣t2+t）：24=9：100．整理得：5t2﹣24t+27=0．即（5t﹣9）（t﹣3）=0]解得：t=1.8或t=3．∵0≤t≤4.8，∴当t=1.8秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．七、【课时检测】（一）选择题（时量：3分钟，满分9分，每小题3分）【33-9A】（（2015•湘潭）如图10在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（）A．8B．12C．16D．20【33-10A】（2015•山东）如图11，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABC10图6C．ABCBBDCDD．ADABABAC【33-11A】如图7，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1）（二）填空题（时量：4分钟，满分：9分，每小题3分）【33-12A】（2015•长沙）如图13，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是．【33-13A】（2015·岳阳）如图14，△ABC中，如果ABAC，ADBC于点D，M为AC中点，AD与BM交于点G，那么:GDMGABSS的值为；【33-14A】（2015·辽宁）如图15，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有___________个．（三）解答题（时量：18分钟，15A题6分，16B题9分，17B题9分，满分：24分）【33-15A】如图16所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：ADACBEBC．90C，【33-16B】（2015·广东）如图17，在RtACB中，CDAB，垂足为点D.（1）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明；（2）如果AC=6，BC=8，求AD的长.DBAC（图17）16图13图14图15图12图7【33-17B】如图17，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点H.(1)求证：AHAD＝EFBC；(2)设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积．图18【课时检测答案】【33-15A】解：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴ADACBEBC【33-16B】解：（1）三对相似的三角形是：△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD证明：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，[来源%:&中国~*教育#出版网]∴∠B=∠ACD，又∵∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD∽△ABC．（2）∵在Rt△ABC中，[w%ww^.z&zstep.co@~m]AB＝2210ACBC又∵由（1）证得△ACD∽△ABC，[中国*^教~育#&出版网]∴ADACACAB，即2263.610ACADAB【33-17B】解：(1)∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.8∴△AEF∽△ABC.又∵AD⊥BC，EF∥PQ，∴AH⊥EF.∴AHAD＝EFBC(2)设矩形EFPQ的面积为y.∵AHAD＝EFBC，∴AH4＝x5.∴AH＝4x5.∴DH＝445x.∴y＝45x2＋4x＝45x－522＋5.又∵a＝45＜0，∴当x＝52时，y有最大值5，即当x＝52时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5.