数值分析作业(第二章)

数值分析作业（第二章）习题1.当x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4,求的二次插值多项式。（1）用单项式基底；（2）用拉格朗日插值基底；（3）用牛顿基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（1）假设f(x)的二次插值多项式为：由于x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4则有；；求得；；则有（2）用拉格朗日插值基底：由于则有拉格朗日插值多项式为：则f(x)二次插值多项式为：（3）采用牛顿基底：均差表如下所示：Xif(xi)一阶均差二阶均差10-1-33/2247/35/6则有牛顿插值多项式为：则f(x)二次插值多项式为：由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。5.设且求证：解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为因为所以插值余项因为并且所以有6.在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解：假设插值节点为，和，则分段二次插值多项式的插值余项为进而有假设步长为，即，则有当截断误差不超过时，则有：即有因此使用函数表的步长h满足13.求次数小于等于3的多项式，使之满足条件，，解：由题目中插值条件，，，的次数小于等于3，则可设，A为常数。由于则有常数A满足因此可得多项式为16.求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，,。解：由埃米尔特插值进行计算：由题目分析可知；；由于又由于因此有设，A为待定常数由于并且则有进而20.给定数据表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：（1），；（2）.解：由表格分析有，，由于；所以，，，；由于所以由于；；（1）由于，；；由此得矩阵形式的线性方程组为21M02M12M22M312M4求解此方程组得，，，由于三次样条表达式为将代入上式可得（2）由于，同（1）解法由此得矩阵形式的线性方程组为；求解此方程组，得；；；；由于三次样条表达式为将代入得