平面向量的数量积

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义上一页返回首页下一页1．平面向量的数量积．(重点)2．平面向量的数量积的几何意义．(难点)3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1向量数量积的定义及性质阅读教材P103～P104“例1”以上内容，完成下列问题．1．向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量_____________叫做a与b的__________(或______)，记作_____，即__________________．规定零向量与任一向量的数量积为_____．|a||b|cosθ数量积内积a·ba·b＝|a||b|cosθ0上一页返回首页下一页2．向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔________．(2)当a与b同向时，a·b＝_______；当a与b反向时，a·b＝_________．(3)a·a＝______或|a|＝a·a＝a2.(4)cosθ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．()(2)两个向量的数量积是向量．()(3)设向量a与b的夹角为θ，则：cosθ0⇔a·b0.()【解析】(1)×.因向量的夹角包括180°，直线的倾斜角不包括180°.(2)×.因两个向量的数量积没有方向，不是向量．(3)√.由数量积的定义可知．【答案】(1)×(2)×(3)√上一页返回首页下一页教材整理2向量的数量积的几何意义及运算律阅读教材P104例1以下至P105例2以上内容，完成下列问题．1．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念如图2－4－1所示：OA→＝a，OB→＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝_________．___________叫做向量b在a方向上的投影，___________叫做向量a在b方向上的投影．图2－4－1|b|cosθ|b|cosθ|a|cosθ上一页返回首页下一页(2)数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于______________与b在a的方向上的投影___________的乘积．2．向量数量积的运算律(1)a·b＝_______(交换律)．(2)(λa)·b＝________＝_________(结合律)．(3)(a＋b)·c＝___________(分配律)．a的长度|a||b|cosθb·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c上一页返回首页下一页已知|a|＝3，向量a与b的夹角为π3，则a在b方向上的投影为________．【解析】向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝3×cosπ3＝32.【答案】32上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：上一页返回首页下一页[小组合作型]与向量数量积有关的概念(1)以下四种说法中正确的是________．①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；②如果向量a与b满足a·b0，则a与b所成的角为钝角；③△ABC中，如果AB→·BC→＝0，那么△ABC为直角三角形；④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.上一页返回首页下一页(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．(3)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则BA→·BC→＝________.【精彩点拨】根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|cosθ(θ为向量a，b的夹角)．①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；②若a·b0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；③由AB→·BC→＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．上一页返回首页下一页(2)设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cosθ＝－12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cosθ＝a·b|b|＝－125＝－125；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cosθ＝a·b|a|＝－123＝－4.上一页返回首页下一页(3)如图，过A作AD⊥BC，垂足为D．因为AB＝AC，所以BD＝12BC＝2，于是|BA→|cos∠ABC＝|BD→|＝12|BC→|＝12×4＝2.所以BA→·BC→＝|BA→||BC→|cos∠ABC＝4×2＝8.【答案】(1)③④(2)－125－4(3)8上一页返回首页下一页1．在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2．求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.上一页返回首页下一页[再练一题]1．给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足：a·b0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是：________．上一页返回首页下一页【解析】由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a；⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当a与b的夹角为0时，也有a·b0，因此⑦错；|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．【答案】①②⑥上一页返回首页下一页数量积的基本运算已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积.【导学号：00680054】【精彩点拨】(1)当a∥b时，a与b夹角可能为0°或180°.(2)当a⊥b时，a与b夹角为90°.(3)若a与b夹角及模已知时可利用a·b＝|a|·|b|·cosθ(θ为a，b夹角)求值．上一页返回首页下一页【自主解答】设向量a与b的夹角为θ，(1)a∥b时，有两种情况：①若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|＝20；②若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝－|a||b|＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝0.(3)当a与b夹角为135°时，a·b＝|a||b|cos135°＝－102.上一页返回首页下一页1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ.2．非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|.上一页返回首页下一页[再练一题]2．已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)AB→·AC→；(2)AB→·BC→；(3)BC→·AC→.图2－4－2【解】(1)AB→与AC→的夹角为60°，∴AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos60°＝1×1×12＝12.上一页返回首页下一页(2)AB→与BC→的夹角为120°，∴AB→·BC→＝|AB→||BC→|cos120°＝1×1×－12＝－12.(3)BC→与AC→的夹角为60°，∴BC→·AC→＝|BC→||AC→|cos60°＝1×1×12＝12.上一页返回首页下一页与向量模有关的问题已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|(a＋b)·(a－2b)|.【精彩点拨】利用a·a＝a2或|a|＝a2求解．上一页返回首页下一页【自主解答】由已知a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝23.(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.上一页返回首页下一页1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系．2．利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．上一页返回首页下一页[再练一题]3．题干条件不变，求|a－b|.【解】因为|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角θ＝120°.所以|a－b|＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝42－2×4×2×cos120°＋22＝27，所以|a－b|＝27.上一页返回首页下一页[探究共研型]平面向量数量积的性质探究1设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？【提示】a⊥b⇔a·b＝0.探究2当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？【提示】当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a·a.上一页返回首页下一页探究3|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？【提示】|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.当且仅当|cosθ|＝1，即cosθ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|.cosθ＝a·b|a||b|.上一页返回首页下一页已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？【精彩点拨】由条件计算a·b，当c⊥d时，c·d＝0列方程求解m.【自主解答】由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3.由c⊥d，知c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝2914，即m＝2914时，c与d垂直．上一页返回首页下一页1．已知非零向量a，b，若a⊥b，则a·b＝0，反之也成立．2．设a与b夹角为θ，利用公式cosθ＝a·b|a||b|可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π]．上一页返回首页下一页[再练一题]4．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．【解】设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，所以|a|2＝9|b|2，又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cosθ＝13|b|2＋12|b|2cosθ，即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cosθ，故有cosθ＝－13.【答案】－13上一页返回首页下一页[构建·体系]上一页返回首页下一页1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则BC→·CA→＝()A．20B．－20C．203D．－203【解析】BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos120°＝5×8×－12＝－20.【答案】B上一页返回首页下一页2．设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是()A．e1·e2＝1B．e1·e2＝－1C．|e1·e2|＝1D．|e1·e2|1【解析】e