滤波器原理与结构

内容提要数字滤波器属于线性时不变离散时间系统的范畴。它具有稳定性好、精度高、灵活性大等突出优点。本章主要介绍滤波器的原理及分类、常用模拟滤波器的设计方法及数字滤波器的基本结构一、滤波器基本概念滤波器可以用描述线性时不变系统的输入输出关系的数学函数来表示，如图6-1所示。h(n)x(n)y(n)线性时不变图6-1滤波器的时域输入输出关系一、滤波器基本概念若x(n)，y(n)的傅里叶变换存在，则输入输出的频域关系为：jjjY(e)X(e)H(e)在时域中输入输出关系用公式表示为y(n)x(n)*h(n)二、滤波器分类根据滤波器所处理的信号不同:主要分模拟滤波器和数字滤波器两种形式。从功能上分类:滤波器可以分为低通、高通、带通和带阻滤波器。它们的理想幅频特性如图6-3所示。()aHj低通0()aHj高通0()aHj带通0()aHj带阻0图6-3各种理想滤波器的幅频特性二、滤波器分类从实现的网络结构或者从单位冲激响应分类:数字滤波器可以分成无限脉冲响应（IIR）滤波器和有限脉冲响应（FIR）滤波器。它们都是典型线性时不变离散系统，其系统函数分别为kMrrr0Nkk1bzH(z)1azN1nn0H(z)h(n)z(6-1)(6-2)三、数字滤波器技术要求常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传递函数用下式表示()jHe)(|)(|)(jQjjeeHeH选频滤波器的技术要求一般由幅频特性给出，相频特性一般不作要求，但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如在语音合成、波形传输、图像信号处理等应用场合。如果对输出波形有严格要求，则需要设计线性相位数字滤波器。三、数字滤波器技术要求11－1707.02jHe（）pscO图6-4低通滤波器的技术要求第二节常用模拟滤波器的设计模拟滤波器按幅频特性可分为低通、高通、带通和带阻滤波器。设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频带变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。下面先介绍模拟低通滤波器的设计方法，然后再介绍模拟高通、带通、带阻滤波器的设计方法。主要内容巴特沃斯低通滤波器设计方法一切比雪夫滤波器的设计方法二模拟滤波器的频率变换－模拟高通、带通、带阻滤波器的设计三一、巴特沃斯低通滤波器设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式表示221()1NcHj（6-8）下降的速度与阶数N有关，N愈大，幅度下降的速度愈快，过渡带愈窄。幅频特性和N的关系如图6-5所示。；一、巴特沃斯低通滤波器设计方法H(j)O21c2N4N8N图6-5巴特沃斯幅频特性和N的关系一、巴特沃斯低通滤波器设计方法低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下1）据技术指标、、和，用式（6-18）求出滤波器的阶数N。2）按照式（6-14），求出归一化极点，将代入式（6-13），得到归一化传递函数。也可以根据阶数N，直接查表6-1，得到极点和归一化传递函数。ppsskpkppHakppHa一、巴特沃斯低通滤波器设计方法3）将去归一化。将代入，得到实际的滤波器传递函数。其中3dB截止频率，如果技术指标没有给出，可以按照式（6-19）或式（6-20）求出。pHacpspHasHc一、巴特沃斯低通滤波器设计方法图6-7例6-1幅频特性曲线二、切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特性。它有两种型式：幅频特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调的切比雪夫Ⅰ型滤波器；幅频特性在通带内是单调的、在阻带内是等波纹的切比雪夫II型滤波器。采用何种型式切比雪夫滤波器取决于实际用途。二、切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫I型滤波器的设计方法。图6-8分别画出了阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫I型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用表示22221()()1aNpAHjC（6-21）二、切比雪夫滤波器的设计方法O1211psaH(j)N为奇数O1211ps()aHjN为偶数2dB图6-8切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性二、切比雪夫滤波器的设计方法高阶切比雪夫多项式的递推公式为xCxxCxCNNN112（6-23）1111Ox)(0xC)(4xC)(5xC)(5xC)(4xC)(xCN图6-9N=0，4，5切比雪夫多项式曲线二、切比雪夫滤波器的设计方法O50.00.1211pc2()AN=4巴特沃斯N＝4切比雪夫图6-10切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的2()A曲线二、切比雪夫滤波器的设计方法jOpbcaS平面3xxxxxx图6-11三阶切比雪夫滤波器的极点分布二、切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫I型滤波器的设计步骤如下：(1)确定技术要求、、和,是时的衰减系数，是时的衰减系数，它们为ppssppss2110pplgA()2110sslgA()（6-35）（6-36）二、切比雪夫滤波器的设计方法(2)求滤波器阶数N和参数(3)求归一化传递函数二、切比雪夫滤波器的设计方法为求，先按照式（6-29）求出归一化极点，i＝1，2，…，N。pHaip2121sincos22iiipchjchNN（6-41）将极点代入式（6-33）得ipNiiNapppH11)(21(4)将去归一化，得到实际的，即pHasHapaapsHsHp（6-42）二、切比雪夫滤波器的设计方法例6-2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。解：1)滤波器的技术要求kHzfp3dBp1.0kHzfs12dBs60dBp1.02ppfdBs602ssf1p4pssff，，，二、切比雪夫滤波器的设计方法2)求阶数N和1111schkNch65531101101.01.011psk1165539.474.642.06chNch，取N＝51526.011011001.01.0p3)求pHa5(51)110.15262()aiiHppp二、切比雪夫滤波器的设计方法由式（6-41）求出N＝5时的极点，代入上式，得到ipa221Hp2.442(p0.5389)(p0.3331p1.1949)(p0.8720p0.6359)4)将去归一化，得pHapaaps7261427141HsHp(s1.015810)(s6.278810s4.245910)(s1.643710s2.259510)二、切比雪夫滤波器的设计方法在MATLAB中，可以利用函数cheblap设计切比雪夫I型低通滤波器。Cheblap的语法为：[z,p,k]=cheblap(n,rp)，其中n为滤波器的阶数，rp为通带的幅度误差。返回值分别为滤波器的零点、极点和增益。对于例题6-2可以通过如下MATLAB程序完成。二、切比雪夫滤波器的设计方法stoprad=12000;passgain=0-1;stopgain=60;t1=sqrt(10^(0-1*passgain)-1);t2=sqrt(10^(0-1*stopgain)-1);n=ceil(acosh(t2/t1)/acosh(stoprad/passrad));[z,p,k]=cheb1ap(n,passgain);symsrapassrad=3000;hs1=k/(i*rad/passrad-p(1))/(i*rad/passrad-p(2))/(i*rad/passrad-p(3))/(i*rad/passrad-p(4))/(i*rad/passrad-p(5));hs2=10*log10((abs(hs1))^2);ezplot(hs2,[-12000,12000]);gridon;二、切比雪夫滤波器的设计方法得到滤波器的归一化极点位置为：-0.1665+1.0804i-0.4360+0.6677i-0.5389+0.0000i-0.4360–0.6677i-0.1665–1.0804i滤波器的增益系数：0.4095得到的滤波器的幅频特性曲线如图6-12所示，满足设计指标。二、切比雪夫滤波器的设计方法图6-12例6-2幅频特性曲线三、模拟滤波器的频率变换－模拟高通、带通、带阻滤波器的设计高通、带通、带阻滤波器的传递函数可以通过频率变换，分别由低通滤波器的传递函数求得，因此不论设计哪一种滤波器，都可以先将该滤波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，再通过频率变换，将低通的传递函数转换成所需类型的滤波器的传递函数。为了防止符号混淆，先规定一些符号如下假设低通滤波器的传递函数用G(s)表示，；归一化频率用表示，，p称为归一化拉氏复变量。sjjp三、模拟滤波器的频率变换－模拟高通、带通、带阻滤波器的设计所需类型（例如高通）滤波器的传递函数用H(s)表示，；归一化频率用表示，，q称为归一化拉氏变量，H(q)称为归一化传递函数。sjjqOps)(jGO)(jHsp图6-13低通与高通滤波器的幅度特性三、模拟滤波器的频率变换－模拟高通、带通、带阻滤波器的设计（一）低通到高通的频率变换设低通滤波器的和高通滤波器的幅度特性如图6-13所示。图中、分别称为低通的归一化通带截止频率和归一化阻带截止频率，和分别称为高通的归一化通带下限频率和归一化阻带上限频率。下面通过和的对应关系，推出其频率变换。由于和都是频率的偶函数，可以将右边曲线和曲线对应起来，低通的从经过和到0时，高通的则从0经过和到，因此和之间的关系为GjHjpspsjGjHjGjHspsp1（6-43）三、模拟滤波器的频率变换－模拟高通、带通、带阻滤波器的设计上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通，则高通用下式转换jGjH1jGjH（6-44）低通和高通的边界频率也用式（6-43）转换。模拟高通滤波器的设计步骤如下（1）确定高通滤波器的技术指标通带下限频率，阻带