2013年海南省高考文科数学试题及答案

第1页共11页2013年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)文科数学注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合M＝{x|－3x1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝()A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0}D．{－3，－2，－1}2.21＋i＝()A．22B．2C.2D．13．设x，y满足约束条件{x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，x≤3，则z＝2x－3y的最小值是()A．－7B．－6C．－5D．－34．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，c＝π4，则△ABC的面积为()A．23＋2B.3＋1C．23－2D.3－15．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.36B.13C.12D.336．已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝()A.16B.13C.12D.237．执行右面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝()第2页共11页A．1＋12＋13＋14B．1＋12＋13×2＋14×3×2C．1＋12＋13＋14＋15D．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×28．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．acbB．bcaC．cbaD．cab9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝33(x－1)或y＝－33(x－1)C．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)D．y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝012．若存在正数x使2x(x－a)1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)第3页共11页二、填空题13．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·BD→＝________.15．已知正四棱锥O－ABCD的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．16．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin2x＋π3的图象重合，则φ＝________.三、解答题17．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.18．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段第4页共11页长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．21．已知函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．22．[选修4－1]几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B、E、F、C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．[选修4—4]坐标系与参数方程已知动点P、Q都在曲线C：{x＝2cost，y＝2sint(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0α2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．[选修4－5]不等式选讲设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)第5页共11页文科数学答案1.答案C解析因为M＝{x|－3x1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，所以M∩N＝{－2，－1,0}，选C.2.答案C解析21＋i＝21－i1－i1＋i＝21－i2＝1－i，所以21＋i＝2，选C.3.答案B解析由z＝2x－3y得3y＝2x－z，即y＝23x－z3.作出可行域如图，平移直线y＝23x－z3，由图象可知当直线y＝23x－z3经过点B时，直线y＝23x－z3的截距最大，此时z取得最小值，由{x－y＋1＝0，x＝3得{x＝y＝4，即B(3,4)，代入直线z＝2x－3y得z＝3×2－3×4＝－6，选B.4.答案B解析因为B＝π6，C＝π4，所以A＝7π12.由正弦定理得bsinπ6＝csinπ4，解得c＝22.所以三角形的面积为12bcsinA＝12×2×22sin7π12.因为sin7π12＝sinπ3＋π4＝32×22＋22×12＝2232＋12，所以12bcsinA＝22×2232＋12＝3＋1，选B.5.答案D解析因为PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，所以PF2＝2ctan30°＝233c，PF1＝433c.第6页共11页又|PF1|＋|PF2|＝633c＝2a，所以ca＝13＝33，即椭圆的离心率为33，选D.6.答案A解析因为cos2α＋π4＝1＋cos2α＋π42＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos2α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16，选A.7.答案B解析第一次循环，T＝1，S＝1，k＝2；第二次循环，T＝12，S＝1＋12，k＝3；第三次循环，T＝12×3，S＝1＋12＋12×3，k＝4，第四次循环，T＝12×3×4，S＝1＋12＋12×3＋12×3×4，k＝5，此时满足条件输出S＝1＋12＋12×3＋12×3×4，选B.8.答案D解析因为log32＝1log231，log52＝1log251，又log231，所以c最大．又1log23log25，所以1log231log25，即ab，所以cab，选D.9.答案A解析在空间直角坐标系中，先画出四面体O－ABC的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图，所以选A.10.答案C解析抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＝3|BF|，所以x1＋1＝3(x2＋1)，所以x1＝3x2＋2.因为|y1|＝3|y2|，x1＝9x2，所以x1＝3，x2＝13，当x1＝3时，y21＝12，所以此时y1＝±12＝±23，若y1＝23，则A(3,23)，B13，－233，此时kAB＝3，此时直线方程为y＝3(x－1)．若y1＝－23，则A(3，－23)，B13，233，此时kAB＝－3，此时直线方程为y＝－3(x－1)．所以l的方程是y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)，选C.第7页共11页11.答案C解析若c＝0，则有f(0)＝0，所以A正确．由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确．由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x0)单调递减是错误的，D正确．选C.12.答案D解析因为2x0，所以由2x(x－a)1得x－a12x＝2－x，在坐标系中，作出函数f(x)＝x－a，g(x)＝2－x的图象，当x0时，g(x)＝2－x1，所以如果存在x0，使2x(x－a)1，则有－a1，即a－1，所以选D.13.答案15解析从5个数中任意取出两个不同的数，有10种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4)，(2,3)，共有2种，所以取出的两数之和等于5的概率为210＝15.14.答案2解析在正方形中，AE→＝AD→＋12DC→，BD→＝BA→＋AD→＝AD→－DC→，所以AE→·BD→＝AD→＋12DC→·(AD→－DC→)＝AD→2－12DC→2＝22－12×22＝2.15.答案24π解析设正四棱锥的高为h，则13×(3)2h＝322，解得高h＝322.则底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA＝3222＋622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π.16.答案5π6解析函数y＝cos(2x＋φ)向右平移π2个单位，得到y＝sin2x＋π3，即y＝sin2x＋π3向左平移π2个单位得到函数y＝cos(2x＋φ)，y＝sin2x＋π3向左平移π2个单位，得y＝第8页共11页sin2x＋π2＋π3＝sin2x＋π＋π3＝－sin2x＋π3＝cosπ2＋2x＋π3＝cos2x＋5π6，即φ＝5π6.17.解(1)设{an}的公差为d.由题意，a211＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.18.(1)证明连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，连结DF.又D是AB中点，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.又因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝13×12×6×3×2＝1.19.解(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－3