专题训练(六)-构造平行四边形解题

类型之一：证两线段相等1．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，E，F在对角线AC上，且AE＝CF.求证：BE＝DF.证明：连结BD交AC于点O，连结DE，BF.∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC.∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形FBED是平行四边形，∴BE＝DF.类型之二：证两线段互相平分2．如图，在平行四边形ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH.求证：EF与GH互相平分．证明：连结HE，EG，GF，FH.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.∵BG＝DH，∴AH＝CG.又∵AE＝CF，∴△HAE≌△GCF，∴HE＝FG.同理可证HF＝EG.∴四边形EGFH是平行四边形，∴EF与GH互相平分．类型之三：证两线段平行3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O任作一直线分别交AB，CD于点G，H.求证：GF∥EH.证明：连结GE，FH.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∠BAO＝∠DCO.又∵∠AOG＝∠COH，∴△AOG≌△COH，∴OG＝OH.∵E，F分别为OB，OD的中点，∴OE＝12OB＝12OD＝OF，∴四边形EHFG是平行四边形，∴GF∥EH.类型之四：证线段的和差关系4．如图，在四边形BCED中，DE∥BC，延长边BD，CE交于点A，在边BD上截取BF＝AD，过点F作FG∥BC交EC于点G.求证：DE＋FG＝BC.证明：过点F作FM∥AC交BC于点，则四边形FMCG是平行四边形，∠BFM＝∠A.∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.又BF＝AD，∴△BFM≌△DAE，∴BM＝DE.∵四边形FMCG是平行四边形，∴FG＝MC，∴DE＋FG＝BM＋MC＝BC.类型之五：证线段的倍分关系5．如图，已知AB＝AC，B是AD的中点，E是AB的中点．求证：CD＝2CE.证明：延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，BF.∵E是AB的中点，∴四边形AFBC是平行四边形，∴AC∥BF，AC＝BF，∴∠CAB＝∠FBA.又AB＝AC＝BD，∴BD＝BF，∠BCA＝∠ABC.∵∠DBC＝∠BCA＋∠CAB，∠FBC＝∠FBA＋∠ABC，∴∠DBC＝∠FBC.又BC＝BC，∴△DBC≌△FBC，∴CD＝CF＝2CE.类型之六：证面积问题6．如图，点E是梯形ABCD的腰DC的中点．求证：S△ABE＝12S梯形ABCD.证明：过点E作MN∥AB，交BC于点N，交AD的延长线于点M，则四边形ABNM是平行四边形，∴S△ABE＝12S平行四边形ABNM，∵AD∥BC，∴∠1＝∠C，∠M＝∠2，∵E是CD中点，∴DE＝CE，△EMD≌△ENC，∴S梯形ABCD＝S平行四边形ABNM，∴S△ABE＝12S梯形ABCD类型之七：其他7．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，求边BC上的中线AD的取值范围．解：延长AD至点E，使ED＝AD，连结BE，CE.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC.∵ED＝AD，∴四边形ABEC为平行四边形，∴BE＝AC.在△ABE中，∵AB－BE＜AE＜AB＋BE，即10－6＜2AD＜10＋6，∴2＜AD＜8.8．如图，六边形ABCDEF中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，AF－CD＝3，则BC＋DE等于多少？解：由已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F可知这些角均为120°，于是延长FA，CB交于点P，延长FE，CD交于点Q.易得△ABP和△EDQ均为等边三角形，由∠F＝∠C＝120°和∠P＝∠Q＝60°，得∠F＋∠P＝180°，∠F＋∠Q＝180°，所以FQ∥PC，PF∥CQ，所以四边形FPCQ为平行四边形，则PA＋AF＝CD＋DQ，即AF－CD＝DQ－PA＝DE－AB.又已知AF－CD＝3，则得DE－AB＝3……①，又AB＋BE＝11……②，将①②两式相加可得BC＋DE＝14.平面直角坐标系问题7．如图①，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8.以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连结AD并延长交OC于点E.(1)求点B的坐标；(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；(3)如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．(1)(43，4)(2)∵∠OAB＝90°，∴AB⊥x轴，∵y轴⊥x轴，∴AB∥y轴，即AB∥CE，∵∠AOB＝30°，∴∠OBA＝60°，∵DB＝DO＝4，∠OAB＝90°，∴DB＝AB＝4，∴∠BDA＝∠BAD＝(180°－60°)÷2＝60°，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°，∴∠BDA＝∠OBC，即AD∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形(3)设OG的长为x，∵OC＝OB＝8，∴CG＝8－x，由折叠可得：AG＝CG＝8－x，在Rt△AOG中，AG2＝OG2＋OA2，即(8－x)2＝x2＋(43)2，解得x＝1，即OG＝1