北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(一)利用定积分求平面图形的面积

1北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(一)利用定积分求平面图形的面积2一、教学目标：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。二、教学重难点：曲边梯形面积的求法及应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程3前面，我们运用分割→近似代替→求和→取极限的过程，求出了一些曲边梯形(由函数()yfx(()0fx≥)的图象和直线xa,xb,x轴围成的平面图形)的面积.并把它们浓缩成了一个结果:定积分(()bafxdx)41.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式'()()()|()()bbbaaafxdxFxdxFxFbFa牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．2.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是()()fxFx确定的原函数5我们知道定积分()bafxdx的几何意义：它是介于x轴、函数()fx的图象及两条直线,xaxb之间的各部分面积的代数和.(在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号)61()baAfxdx221[()()]baAfxfxdx思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:()yfxab图1.曲边梯形xyo)(1xfy)(2xfyab图2.如图xyo图4.如图)(1xfy)(2xfyab0xy图3.如图)(xfyab0yx3()baAfxdx42121()()[()()]bbbaaaAfxdxfxdxfxfxdx7例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点(0,0)(1,1)OB120(-)Sxxdx10333223xx.31-OABDOABCSSS梯曲形曲梯形11200xdxxdx201yxxxyx及oxy2yx2yxABCD8例2计算由曲线2yx，直线4xy以及x轴所围成的图形的面积.解:两曲线的交点(0,0),(8,4).24yxyx直线与x轴交点为(4,0)2yx4yx88042(4)xdxxdxS1S2488120442[2(4)]SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx382820422140|(4)|323xxx9练习1（课本变式题）：计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解:两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxyxy224xy8281202222(24)SSSxdxxxdx1S1S2S2yx33228220242221166426|(4)|18332333xxxx280222(24)xdxxxdx2410练习2：计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解:两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6)xAxxdx2xyxxy631A2A于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式．11例3求由抛物线y2=8x(y0)与直线x+y-6=0及y=0所围成的图形的面积.xyO6622602408(6)3Sxdxxdx求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:(1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的;(4)写出定积分并计算.12例4已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为4/3,求a的值.若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3”呢?思路:根据a的取值的不同分类讨论.当a≤0时,,解得a=-1024(2)3axxdx222024(2)(2)3axxdxxxdx当a2时,,,无解当0a≤2时,,解得a=2204(2)3axxdx|()|()baSfxdxab注意故a=-1或a=2[-1,2]13巩固练习:1.由定积分的性质和几何意义,说明下列各式的值.10222))1(1()2()1(dxxxdxxaaa22a142142.一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线拱的高为常数h,宽为常数b,求抛物线拱的面积.xy023Sbh224hyxhb3.已知直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.3412154.求下列曲线所围成的图形的面积:(1)y=x2,y=2x+3;(2)y=ex,y=e,x=0.32132(1)((23))3Sxxdx10(2)()1xSeedx16课外练习课堂小结:求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.作图象;2.求交点的横坐标,定出积分上、下限;3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.17课外练习18作业布置：课本P90页习题4-3中1、2、3、4五、教学反思：