2017年高二文科数学必修5第三章不等式专题教师版

专题（二）不等式（必修5第三章）一、知识点汇总知识点一：不等式性质知识点二：一元二次不等式的解法知识点三：三个二次的关系知识点四：一元二次恒成立问题知识点五：均值不等式（重要不等式）知识点六：简单线性规划二、课前热身1.不等式2x2－x－1＞0的解集是()A．(－12，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－12)∪(1，＋∞)2．若ab0，cd0，则一定有()A.acbdB.acbdC.adbcD.adbc3.若直线1(0,0)xyabab过点(1,1)，则ab的最小值等于（）A．2B．3C．4D．54.若变量x，y满足约束条件2204xyxyx，则23zxy的最大值为（）A．10B．8C．5D．2答案：1.D2.D3.C4.C三、典例分析知识点一：不等式的性质例1.（1）设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()A．a2b2B．ab2a2bC.1ab21a2bD.baab(2)已知a，b，c∈R，有以下命题：①若ab，则ac2bc2；②若ac2bc2，则ab；③若ab，则a·2cb·2c.其中正确的是________．(填上所有正确命题的序号)例1.答案(1)C(2)②③变式1．（1）已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋1＞1y2＋1B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y3（2）已知xyz，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是()A．xyyzB．xzyzC．xyxzD．x|y|z|y|变式1．（1）D【解析】因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sinx＞siny，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，1x2＋1＞1y2＋1都不一定正确，故选D.（2）C解析因为xyz，x＋y＋z＝0，所以3xx＋y＋z＝0,3zx＋y＋z＝0，所以x0，z0.所以由x0，yz，可得xyxz.例2．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是()A．(0，5π6)B．(－π6，5π6)C．(0，π)D．(－π6，π)例2．答案D解析由题设得02απ，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π62α－β3π.知识点二：一元二次不等式及其解法题型一一元二次不等式的解法例3.求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)ax2－(a＋1)x＋10.例3.解(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝520，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－13，x2＝4＋13.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13x4＋13}．当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为{x|1x1a}；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为{x|1ax1}．题型二：三个二次的关系例4.若不等式ax2＋bx＋20的解为x－12x13，则不等式2x2＋bx＋a0的解集是________．变式2.关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.52B.72C.154D.152例4(－2,3)变式2.答案：A解析：本题主要考查二次不等式与二次方程的关系．由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝52，故选A.题型三：一元二次不等式恒成立问题例5.若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．[－1,4]B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D．[－2,5]变式3．若集合A＝{x|ax2－ax＋10}＝∅，则实数a的值的集合是()A．{a|0a4}B．{a|0≤a4}C．{a|0a≤4}D．{a|0≤a≤4}例5.A解析x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.变式3．答案D解析由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，由a0，Δ＝a2－4a≤0得0a≤4，所以0≤a≤4.例6.已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是________．例6.解析：由题可得f(x)0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即fm＝2m2－10，fm＋1＝2m2＋3m0，解得－22m0.答案：－22，0变式4.已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a0恒成立，则x的范围为（）A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1,3)变式4.答案C把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则由f(a)0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋60，且f(1)＝x2－3x＋20即可，联立方程解得x1或x3.题型二：重要不等式例7.(1)当x32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值；(2)设0x2，求函数)24(xxy的最大值．（3）设,0,5abab+=,则1++3ab+的最大值为________.例7.解(1)y＝x＋82x－3＝－(3－2x2＋83－2x)＋32.当x32时，有3－2x0，∴3－2x2＋83－2x≥23－2x2·83－2x＝4，当且仅当3－2x2＝83－2x，即x＝－12时取等号．于是y≤－4＋32＝－52.故函数的最大值为－52.(2)∵0x2，∴2－x0，∴y＝x－2x＝2·x－x≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝x－2x的最大值为2.（3）【答案】23变式5.(1)已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23(2)若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋2B．1＋3C．3D．4变式5.答案(1)B(2)C例8．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6例8.答案：C解析：∵x＋3y＝5xy，∴1y＋3x＝5，∵x0，y0，∴(3x＋4y)(1y＋3x)＝3xy＋12yx＋9＋4≥23xy·12yx＋13＝25，∴5(3x＋4y)≥25，∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．∴3x＋4y的最小值是5.变式6.已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．变式6.答案6解析.方法一由已知得x＝9－3y1＋y(消元法)∵x0，y0，∴y3，∴x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝121＋y＋(3y＋3)－6≥2121＋y·3y＋3－6＝6，当且仅当121＋y＝3y＋3，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.方法二∵x0，y0，9－(x＋3y)＝xy＝13x·(3y)≤13·(x＋3y2)2，当且仅当x＝3y时等号成立．设x＋3y＝t0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.三、线性规划题型一：平面区域的确定及约束条件的确定例9.若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝________.例9答案：－3解析：由题意可得|4m－9＋1|5＝42m＋3＜3，解得m＝－3.例10.（1）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组|x|≤|y|，|x|1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．例10（1）答案C(2)x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0解析|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|1表示x＝±1所夹含y轴的带状区域．题型二：平面区域面积的求解例11．不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．例11．答案：4解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝12×2×(2＋2)＝4.题型三：平面区域内数数解个数问题例12.不等式组,011234yyxyx表示的平面区域内的整点的个数是_______例12.9个题型四：目标函数最值问题（一）线性目标函数的最值问题（截距型）例13.（1）设x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，x≤3，则z＝2x－3y的最小值是()A．－7B．－6C．－5D．－3（2）若变量x，y满足约束条件x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为()A．4和3B．4和2C．3和2D．2和0例13．答案：（1）B（2）B（1）解析：本题主要考查线性规划的相关知识，意在考查考生的基本运算能力与数形结合思想的应用．由约束条件作出可行域如图中阴影区域．将z＝2x－3y化为y＝23x－z3，作出直线y＝23x并平移使之经过可行域，易知直线经过点C(3,4)时，z取得最小值，故zmin＝2×3－3×4＝－6.（2）解析：本题主要考查线性规划问题中求目标函数的最值，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力．画出可行域(如图中阴影部分)，由图像可得，当y＝－2x＋z经过点B(2,0)时，zmax＝4；当y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmin＝2，故选B.变式7.（1）如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．（2）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2y≤2x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM·OA的最大值为()A．3B．4C．32D．42变式7：（1）答案：1解析：设目标函数为z＝2x－y，借助平移，显然点(1,1)满足题意，则2x－y的最小值为1.（2）答案：B解析：画出区域D如图所示，而z＝OM·OA＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，令l0：y＝－2x，平移直线l0，相应直线过点(2，2)时，截距z有最大值，故zmax＝2×2＋2＝4.（二）非线性目标函数的最值问题（斜率型、距离型）例14.（1）设变量x，y满足5x＋2y－18≤0，2x－y≥0，x＋y－3≥0，若直线kx－y＋2＝0经过该可行域，则k的最大值为________．（2）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x＋3y－6≤0，x＋y－2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．例14（1）答案1画出可行域如图，k为直线y＝kx＋2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k最大，此直线需过B(2,4)点，所以k＝4－22－0＝1.（2）解析：本题主要考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力．作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离，所以|OM|min＝|－2|2＝2.答案：2变式8.（1）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－13D．－12（2）设D为不等式组x≥0，2x－y≤0，x＋y－3≤0所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0