必修二立体几何典型例题

必修二立体几何典型例题【知识要点】1．空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交．②无公共点：平行或异面．平行，记作：a∥b．异面中特殊位置关系：异面垂直．(2)空间直线与平面：①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交．直线在平面内，记作：a．直线与平面相交，记作：a∩＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交．②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥．(3)空间两个平面：①有公共点：相交，记作：∩＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交．②无公共点：平行，记作：∥．2．空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．②性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：【例题分析】例2在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE．∵底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，∴MA∥CD，.21CDMA∵E是PD的中点，∴NE∥CD，.21CDNE∴MA∥NE，且MA＝NE，∴AENM是平行四边形，∴MN∥AE．又AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．方法二取CD中点F，连接MF，NF．∵MF∥AD，NF∥PD，∴平面MNF∥平面PAD，∴MN∥平面PAD．【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：a∥c，b∥c，a∥α，aβα∥βa⊥α，b⊥αα∩β＝b∩α＝a，∩β＝ba∥ba∥ba∥ba∥b(2)证明线面平行：a∩α＝a∥bα∥βbα，aαaβa∥αa∥αa∥α(3)证明面面平行：α∩β＝a∥β，b∥βa⊥α，a⊥βα∥，β∥a，bα，a∩b＝Aα∥βα∥βα∥βα∥β例3在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可．证明：连接AC1．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1．又AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1，∴A1C⊥AB．①又AA1＝AC，∴侧面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1．②由①，②得A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥BC1．【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．例4在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面PAC⊥平面PBC．【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴AP⊥BC．又AP⊥PB，∴AP⊥平面PBC，又AP平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC．【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：a⊥c，b∥c，a⊥αbαa⊥ba⊥b(1)证明线面垂直：a⊥m，a⊥na∥b，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩β＝lm，nα，m∩n＝Aaβ，a⊥la⊥αa⊥αa⊥αa⊥α(1)证明面面垂直：a⊥β，aαα⊥β例5如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．(Ⅰ)求证：直线EF∥平面A1ACC1；(Ⅱ)在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．证明：(Ⅰ)连接A1C，A1E．∵侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，∴E也是A1B的中点，又F是BC的中点，∴EF∥A1C．∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，∴直线EF∥平面A1ACC1．(2)解：当31GABG时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下：连接EG，FG．∵侧面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB是等边三角形．∵E是A1B的中点，31GABG，∴EG⊥AB．∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，∴EG⊥平面ABC．又EG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．例6如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1．【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．证明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BE⊥AA1．∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．(Ⅱ)证明：连接B1C，设BC1∩B1C＝D．∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点，∴DE∥AB1．又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，∴AB1∥平面BEC1．例7在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，542DCAB．(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD．证明：(Ⅰ)在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，54AB，所以AD2＋BD2＝AB2．故AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．(Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P－ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形．因此.32423PO在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为5585484，即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为.2455825452S故.316322431ABCDPV练习一、选择题：1．已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是()(A)若m∥，n∥，则m∥n(B)若m⊥，n⊥，则m∥n(C)若⊥，⊥，则∥(D)若m∥，m∥，则∥2．已知直线m，n和平面，，且m⊥n，m⊥，⊥，则()(A)n⊥(B)n∥，或n(C)n⊥(D)n∥，或n3．设a，b是两条直线，、是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()(A)a⊥，b∥，⊥(B)a⊥，b⊥，∥(C)a，b⊥，∥(D)a，b∥，⊥4．设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()(A)在平面内有且只有一条直线与直线m垂直(B)过直线m有且只有一个平面与平面垂直(C)与直线m垂直的直线不可能与平面平行(D)与直线m平行的平面不可能与平面垂直二、填空题：5．在三棱锥P－ABC中，6PBPA，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC＝30°，则PC＝______．6．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1．(只要求写出一种条件即可)7．设，是两个不同的平面，m，n是平面，之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n②⊥③n⊥④m⊥以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题______．8．已知平面⊥平面，∩＝l，点A∈，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥，m∥，给出下列四种位置：①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥；④AC⊥，上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是______．三、解答题：9．如图，三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点．(Ⅰ)求MN的长；(Ⅱ)求证：PA⊥BC．10．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(Ⅰ)直线EF∥平面ACD；(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD．11．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，AFBEAFBEADBC21,//,21，G，H分别为FA，FD的中点．(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；(Ⅱ)C，D，F，E四点是否共面?为什么?(Ⅲ)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．专题七立体几何参考答案练习一、选择题：1．B2．D3．C4．B二、填空题：5．106．AC⊥BD(或能得出此结论的其他条件)7．②、③、④①；或①、③、④②8．④三、解答题：9．(Ⅰ)解：连接MB，MC．∵三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，∴23MCMB，且底面△ABC也是边长为1的等边三角形．∵N为BC的中点，∴MN⊥BC．在Rt△MNB中，2222BNMBMN(Ⅱ)证明：∵M是PA的中点，∴PA⊥MB，同理PA⊥MC．∵MB∩MC＝M，∴PA⊥平面MBC，又BC平面MBC，∴PA⊥BC．10．证明：(Ⅰ)∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD．又EF平面ACD，AD平面ACD，∴直线EF∥平面ACD．(Ⅱ)∵EF∥AD，AD⊥BD，∴EF⊥BD．∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面CEF．∵BD平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD．11．(Ⅰ)由题意知，FG＝GA，FH＝HD，∴GH∥AD，,21ADGH又BC∥AD，ADBC21，∴GH∥BC，GH＝BC，∴四边形BCHG是平行四边形．(Ⅱ)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE∥AF，AFBF21，G是FA的中点，得BE∥FG，且BE＝FG．∴EF∥BG．由(Ⅰ)知BG∥CH，∴EF∥CH，故EC，FH共面，又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面