微积分 求极限的方法

求极限方法一：直接代入法例一：lim𝑥→−2（3x2−5x+2）=24例二：lim𝑥→0（1−2𝑥−3）=53类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。lim𝑥→√3𝑥2−3𝑥4+𝑥2+1知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0lim𝑥→2𝑥2−3𝑥−2知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于∞方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。类似lim𝑥→3𝑥2−9𝑥−3=lim𝑥→3（x+3）下面讲个例知识点3：𝑥𝑛−𝑦𝑛=(x-y)(𝑥𝑛−1+𝑥𝑛−2𝑦+⋯+𝑦𝑛−1)例三：lim𝑥→1𝑥𝑚−1𝑥𝑛−1=lim𝑥→1𝑥𝑚−1+𝑥𝑚−2+⋯+1𝑥𝑛−1+𝑥𝑛−2+⋯+1=𝑚𝑛方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）例四：lim𝑥→∞√𝑥2+𝑥−𝑥=lim𝑥→∞𝑥√𝑥2+𝑥+𝑥=12方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：lim𝑥→0𝑥√𝑥+1−√𝑥−1=lim𝑥→0√𝑥+1+√𝑥−12=1方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：lim𝑥→4√2𝑥+1−3√𝑥−2−√2知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七：lim𝑛→∞（n−1）2𝑛−3=∞（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）例八：lim𝑥→∞1000𝑥1+𝑥2=0（分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）例九：lim𝑥→∞2𝑥+36𝑥−1（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数分母最高次数项系数）方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十：lim𝑥→131−𝑥3-11−𝑥知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）例十一：lim𝑥→∞𝑥2+1𝑥3+𝑥（3+cosx）=0函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现00或∞∞，都可以使用洛必达法则求解极限。