35偏微分方程反问题的数值解法教案

偏微分方程反问题的数值解法教案哈尔滨工业大学理学院数学系陈勇2007.8参考书目：不适定问题的正则化方法及应用，刘继军著，科学出版社，2005.9反问题的数值解法，肖庭延，于慎根，王彦飞著，科学出版社，2003.9反演问题的计算方法及其应用，王彦飞著，高等教育出版社，2007.1Inverseproblemsforpartialdifferentialequations,VictorIsakov,Springer,1998Anintroductiontothemathematicaltheoryofinverseproblems,AndreasKirsch,Springer,1996--1第一章绪论近二十多年以来，数学物理反问题已经成为应用数学中成长和发展昀快的领域之一。之所以如此，在很大程度上是受其他学科与众多工程技术领域的应用中产生的迫切需求所驱动的。在实践中，许多反问题可归结为第一类算子方程的求解问题；而反问题的某些求解方法如广义脉冲谱方法（GPST），昀佳摄动法等，也常常把第一类算子方程的求解过程，作为方法本身的一个子过程，因此，本章将以第一类算子方程为数学框架来描述和研究反问题。1.1反问题的若干例子背景：1923，Hadamard,线性偏微分方程的Cauchy问题时开始研究反问题的不适定性。20世纪40年代，Tikhonov，提出了变分正则化方法，《Solutionsofill-posedproblems》,(Tikhonov,1977,中译本《不适定问题的解法》（王秉忱，1979，地质出版社）)，Landweber和Fridman，迭代正则化方法。Morozov和Groetsch把不适定问题的正则化放在抽象泛函空间进行完整描述。国内：冯康等。例1.1加减法互为逆运算，由此引发的填空问题。例1.2积分和微分互为逆运算，但并不是一一对应的，需要附加条件。一般性所考虑问题的思维方式：“由因及果”，也就是人们习惯于根据原因去研究相应的结果这样的一种因果关系思维方式。原因=〉结果输入+系统=输出因果关系是辩证的，相对的，都不是绝对的。如果我们仅仅知道结果，也就是输出，需要去追寻原因的时候，就需要一种逆向思维方式，即“由果索因”。原因〈=结果+系统=输出也就是说这两种思维方式是相对的，如果我们把“由因及果”所考虑的问题称为正问题，那么“由果索因”所考虑的问题就是反问题。例1.3多项式函数正问题：给定多项式1110()nnnnnPxcxcxcxc−−=++++，求在1n+个已知点--201,,,nxxx处的函数值01,,,nyyy。反问题：Lagrange插值问题：给定1n+组值(,),0,1,,iixyin=，要求确定n次多项式()nPx的系数ic，使得其满足插值条件：(),0,1,,niiPxyin==。例子可以看出，反问题是相对于正问题而言的，在这个例子中，如果我们把Lagrange插值问题称为正问题，那么求多项式函数值的问题就是反问题了。例1.4逆热传导问题一维热传导方程的初值问题221210(,),,0(),tuuafxtxRttxuxxRφ=⎧∂∂=+∈⎪∂∂⎨⎪=∈⎩其中，a为热传导系数，利用Fourier变换及其逆变换可得222201()1(,)()(,)()expexp4422txfxuxtdddatatatattξξτξφξξξτππτ+∞+∞−∞−∞⎧⎫⎧⎫−−−−=+⎨⎬⎨⎬−⎩⎭⎩⎭∫∫∫（1）若(,)0fxt≡，则有221()(,)()exp42xuxtdatatξφξξπ+∞−∞⎧⎫−−=⎨⎬⎩⎭∫正问题：已知()xφ和a通过上式求温度分布(,)uxt。反问题：已知某一时刻T时的温度分布(,):()TuxTux=和a，求初始时刻温度分布()xφ，即求解下述第一类Fredholm积分方程221()()exp()42TxduxaTaTξφξξπ+∞−∞⎧⎫−−=⎨⎬⎩⎭∫（2）若()0xφ≡，但(,)()()Dfxtztxχ=，则有2201()()(,)exp4()2tzxuxtddatatτξξττπτ+∞−∞⎧⎫−−=⎨⎬−−⎩⎭∫∫其中()Dxχ为示性函数，D为1R中的有届区域。正问题：已知()zt，利用上式求未来任意时刻的温度分布(,)uxt反问题：已知(0,)()utgt=，求()zt，即第一类Volterra积分方程--30()()(),0tHtzdgttτττ−=∫的解，其中221()exp42DHtdatatξξπ⎧⎫−=⎨⎬⎩⎭∫例1.5Abel积分方程：物理中的反问题设有一个质量为m的质点在重力mg的作用下，从铅直平面中高度为0h处的点1p，沿着某一曲线Γ无摩擦地滑到高度为h=0处的点0p。正问题：当曲线Γ给定后，决定从该质点1p滑到0p所需要的时间T.反问题：假定已通过测量得出高度h和时间的关系：()TTh=，要求决定该曲线的形状。不妨设该曲线的表达式为()xyψ=，其上任一点的坐标为((),)yyψ。根据能量守恒定律212EUmvmgymgh+=+=可知速度v满足：2()dsvghydt==−于是，有任一点1p滑到0p所需要的总时间为：10201()(),02()phpdsyTThdyhvghyψ′+===−∫∫令2()1()yyφψ′=+，且设():()2fhThg=为已知，则反问题就是由下面的Abel方程：0()(),0hydyfhhhyφ=−∫来求()yφ。Abel应用：地震学，利用地震波的传播时间来确定地壳运动的速度。等离子物理，用光谱法测量和计算温度，电子密度，粒子密度等。例1.6CT技术中的反问题背景：Radon，1917，二维、三维的物体可由他的无限多个投影的逆变换实现重构。美国工程师A.M.Cormack试图帮助医生不经手术了解人体内有关器官大小和组织结构变异的情况。英国工程师G.N.Hounsfield在1972年成功研制出头颅X射线断层摄影装置，并与1979年与--4A.M.Cormack共同获得诺贝尔医学奖G.N.Hounsfield寄语：如果你考试没有通过，不用太担心，只要你感到你的确理解了所学的课程；将自己常用的推理方法充分使用后，通过对身边发生的事物基本要素的掌握，你就会对你所能达到的理解能力和所掌握的知识感到吃惊。基本原理：不损伤物体本身结构的情况下，发射各种可通过物体的讯号（各种射线，波，粒子，电磁场等），然后通过对从体外接收到的信号。利用数学方法和计算机进行加工和处理，获得物体内部结构的信息，形成物体内部结构的三维透视图像，也称为图像重建或图像恢复。考虑二维情况，通过人体的某一平面用(,)xyρ表示点(,)xy的密度，而用L表示该平面内的任意直线，假定发射一束X光沿直线L穿过人体，并测量X光闯过人体后的强度变化。用参数(,)sδ来刻画直线L，其中[],0,sRδπ∈∈。射线,sLδ可表示为,iiseiueCuRδδ+∈∈，这里C代表复平面2R。强度I的减弱可近似地表示为：dIIduγρ=−，其中γ为常数，沿直线L积分：0ln()()uiiuIuseiueduδδγρ=−+∫若假定密度(,)xyρ具有紧支性，则强度损失由下式给出：ln()()iiIseiueduδδγρ+∞−∞∞=−+∫一般来说，强度的减弱可以通过计算线积分[]()(,):(),,0,iiRsseiuedusRδδρδγρδπ+∞−∞=−+∈∈∫上式中的Rρ称为ρ的Radon变换。--5正问题：对于给定的ρ，计算其Radon变换Rρ。反问题：由给定的Radon变换Rρ（所有线积分的测量值）来决定密度函数ρ。例1.7地震勘探中的反问题假设地层为水平层状介质，考虑如下的一维波动方程22()(())(,),uuxxfxttxxρμ∂∂∂=+∂∂∂其中(,)uxt为质点振动的位移，()xρ为介质的密度，()xμ为Lame系数，(,)fxt为震源函数。()()()xvxxμρ=是介质速度。引入一个变换0()()xxzdxxρμ=∫，在这个变换下，原来方程化为：22()(())(,),uuzzfzttzzσσ∂∂∂=+∂∂∂这里()()()zzzσμρ=称为声波阻抗。正问题：在给定初始条件000ttuut==∂==∂和边界条件0(0)0zuzσ=∂=∂的情况下，由给定的声波阻抗()zσ来求合成地震记录(0,)ut。反问题：在补充了附加条件(0,)()uttϕ=的情况下，由地震记录()tϕ来确定底层介质声波阻抗()zσ的值。上述例子，均可用一个抽象的算子方程来描述：设有一个数学模型描述了一个物理过程，记x为该数学模型的未知特性，K是一个算子，表示某一系统，它把x作用成了y,实际观测结果为y,该过程可以简单的写成：Kxy=其中，算子K和右端项是已知量。近似的利用已知K和y来求x。当算子K是线性算子时，称为线性反问题，否则称为非线性反问题。当K为微分方程算子时，称为微分方程反问题。z通常称一个先前被研究过的相对充分或完备的问题为正问题，而称与此相对应的另一个问题为反问题。z正问题是线性的，对应的反问题也可能是非线性的。--6反问题的严格定义很难给出。因此，反问题的定义似乎有点“只能意会，不能言传”的味道。美国斯坦福大学的J.B.Keller（1976）：若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或包含了有关另一个问题的全部或部分的知识，我们称其中一个为正问题（directproblem），另一个为反问题（inverseproblem）。C.W.Groetsch：反问题是很难定义的，但是几乎每一个数学家都能马上判断出一个问题是正问题还是反问题。苏联学者Levrentiev：“偏微分方程的反问题是指从偏微分方程解的某些泛函去确定偏微分方程的系数或右端项”。T.Robinson的观点：“Usuallyinmathematicsyouhaveanequationandyouwanttofindasolution.Hereyouweregivenasolutionandyouhadtofindtheequation.Ilikedthat.”在两个相互为逆的问题中，如果一个问题在Hadamard意义下是不适定的，特别是若问题的解不连续地依赖于原始数据，则称其为反问题。1.2反问题的数学结构及其分类数学物理反问题的一般的数学形式：这就是微分方程定解条件中的三个组成部分（方程，初始条件，边界条件）再加上一个附加条件。写成一般的形式为：微分方程：(,)(,),,(0,)Luxtfxtxt=∈Ω∈∞初始条件：(,)(),,0Iuxtxxtϕ=∈Ω=边界条件：(,)(,),Buxtxtxψ=∈∂Ω附加条件：(,)(,),Auxtkxtx′=∈∂Ω其中(,)uxt为微分方程的解；(,)fxt为方程右端项，(),(,),(,)xxtkxtϕψ分别为初始条件，边界条件和附加条件。,,,LIBA分别是微分算子，初始算子，边界算子和附加算子。Ω为求解区域，∂Ω为求解区域Ω的边界，′∂Ω为∂Ω得一部分。在上述的这些已知量中如果有一个变成未知了，就是微分方程反问题，根据待求解量的不同，可以给反问题作一个分类：1)当算子L未知时，成为算子识别问题。而通常的情况是算子L的结构已知，所不知道的是算子中的参数，所以这类反问题常称为参数识别问题。2)当右端项(,)fxt未知时，称为寻源反问题。（右端项又被称为方程的源）--73)当初始条件()xϕ未知时，附加条件往往是给出系统在某一时刻的状态，这相当于从后面的状态去确定初始状态，所以也称为逆时间过程的反问题4)当边界条件(,)xtψ未知时，这种反问题经常在工程中出现，称为边界控制问题。5)如果区域的边界∂Ω是未知的，常称这类反问题为几何反问题。1.3不适定性的概念Hadamard,1923,不适定概念：同时满足如下三个条件的问题，称为是适定的：（1）问题解的存在性（2）问题解的唯一性（3）问题的解连续依赖于定解条件（解连续依赖性或稳定性）否则问题称为是不适定的。z存在性依赖于解的定义和输入数据z唯一性依赖于解空间的大小和输入数据z连续依赖性依赖于解空间的拓扑结构（解