高三综合复习课件：函数的单调性与值域

第二章函数与基本初等函数高考总复习数学第二章函数与基本初等函数高考总复习数学第二章函数与基本初等函数高考总复习数学1．单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为Ⅰ.如果对于定义域Ⅰ内某个区间D上的，当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．任意两个自变量的值x1，x2f(x1)＜f(x2)第二章函数与基本初等函数高考总复习数学如果对于定义域Ⅰ内某个区间D上的，当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．如果函数y＝f(x)在区间D上是，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做f(x)的单调区间．任意两个自变量的值x1，x2f(x1)＞f(x2)增函数或减函数单调性第二章函数与基本初等函数高考总复习数学2．函数单调性的应用(1)比较大小；(2)求函数的值域或最值；(3)解、证不等式；(4)作函数的图象．3．证明函数单调性的方法(1)定义法(基本方法)：其一般步骤是：①取值：设x1、x2为所给区间内D的任意两个值，且x1＜x2；②作差(正值可作商)：f(x1)－f(x2)；③变形；④定号；⑤结论．(2)导数法：①求导f′(x)；②判断f′(x)在区间Ⅰ上的符号；③结论：f′(x)＞0⇒f(x)在Ⅰ上为，f′(x)＜0⇒f(x)在Ⅰ上为．增函数减函数第二章函数与基本初等函数高考总复习数学4．判断函数单调性的方法(1)定义法；(2)求导法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用图象．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学5．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为．简称为：同增异减．增函数减函数第二章函数与基本初等函数高考总复习数学6．函数的最大(小)值(1)定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)．②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值(最小值)．(2)求法：①配方法；②判别式法；③不等式法；④换元法；⑤数形结合；⑥单调性法．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(3)求最值时注意的问题①求函数最值的方法，实质与求函数值域的方法类似，只是答题方式有差异．②无论何种方法求最值，都要考虑“＝”能否成立．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学7．函数的值域(1)函数的值域的概念在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(2)确定函数值域的原则①当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合．②当函数y＝f(x)由图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合．③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．④当函数由实际问题给出时，函数的值域还应考虑问题的实际意义．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学1．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．[－3，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，5]D．[3，＋∞)[解析]f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为x＝1－a，∴f(x)在(－∞，1－a]上是减函数，要使f(x)在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a≥4，即a≤－3.[答案]B第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[答案]C2．(2010·广州一模)已知函数f(x)＝a－2x－1，x≤1，logax，x＞1.若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()A．(1,2)B．(2,3)C．(2,3]D．(2，＋∞)第二章函数与基本初等函数高考总复习数学3．(2010·山东文数)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)[答案]A第二章函数与基本初等函数高考总复习数学第二章函数与基本初等函数高考总复习数学用函数单调性的定义证明f(x)＝x＋2x在(2，＋∞)上是增函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[证明]任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋2x1－x2－2x2＝(x1－x2)＋2·x2－x1x2x1＝(x1－x2)(1－2x1x2)．∵x2x12∴x1－x20，x1x22∴1－2x1x20∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[点评与警示]用定义证明函数的单调性就是在定义域内取任意两数x1，x2(x1x2)，再证f(x1)－f(x2)0或f(x1)－f(x2)0.这通常需要将f(x1)－f(x2)分解成几个可判断符号的式子的乘积．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学讨论函数f(x)＝x＋ax(a0)的单调性．[解]f(x)＝x＋ax(a0)∵定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且f(－x)＝－x＋a－x＝－(x＋ax)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数，所以先讨论f(x)在(0，＋∞)上的单调性．设x2x10，则第二章函数与基本初等函数高考总复习数学f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2－ax2＝(x1－x2)(1－ax1x2)．∵当0x1x2≤a时，恒有ax1x21，则f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)故f(x)在(0，a]上是减函数．当x2x1≥a时，恒有0ax1x21，则f(x1)－f(x2)0.∴f(x1)f(x2)故f(x)在[a，＋∞)上是增函数．∵f(x)是奇函数∴f(x)分别在(－∞，－a]，[a，＋∞)上为增函数；f(x)分别在[－a，0)，(0，a]上为减函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学已知函数f(x)＝x3－ax.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解](1)解法一：(定义法)．设x1x2，由f(x)为增函数，得f(x1)－f(x2)0，所以x13－ax1－x23＋ax20，即(x1－x2)(x12＋x22＋x1x2－a)0.由于x1－x20，得x12＋x22＋x1x2－a0，即ax12＋x22＋x1x2对一切x1x2都成立，而x12＋x22＋x1x2＝(x1＋x2)2＋x220，所以只需a≤0.即a≤0时，函数f(x)在R上单调递增．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学解法二：(导数法)，因为f′(x)＝3x2－a，若f(x)在R上递增，则由f′(x)0，得3x2－a0，即a3x2在R上总成立．所以a0.又容易知道，当a＝0时，f(x)在R上是增函数，所以a≤0为所求．(2)由于3x2－a0在(－1,1)上总是成立，所以a3x2.而x∈(－1,1)时，0≤3x23，所以a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[点评与警示](1)讨论函数的单调性应在其定义域内进行．(2)利用定义证明函数单调性的一般步骤要熟悉．(3)利用导数判断或证明函数单调性的依据是：在某个区间上，若f′(x)0，则f(x)递增；若f′(x)0.则f(x)递减．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学已知函数f(x)＝x3－3ax.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．[解]定义法(导数法)(1)a≤0(2)a≥1时第二章函数与基本初等函数高考总复习数学已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．当x1时，f(x)0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(1)；(2)证明f(x)在定义域上是增函数；(3)如果f(13)＝－1，求满足不等式f(x)－f(1x－2)≥2的x的取值范围．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[分析](1)的求解可用赋值法；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑．将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性脱去符号“f”求解．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解](1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.(2)令y＝1x，得f(1)＝f(x)＋f(1x)＝0，故f(1x)＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(1x1)＝f(x2x1)由于x2x11，故f(x2x1)0.从而f(x2)f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(3)由于f(13)＝－1，而f(13)＝－f(3)．故f(3)＝1.在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.又－f(1x－2)＝f(x－2)．故所给不等式可化为f(x)＋f(x－2)≥f(9)∴x0x－20xx－2≥9.解得x≥1＋10.所以x的取值范围是[1＋10，＋∞)．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[点评与警示]本题中的函数是抽象形式的函数，涉及了函数在某点处的值，函数单调性的证明、不等式的求解．在本题的求解中，一个典型的方法技能是根据所给式子f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f(xy)＝f(x)－f(y)．(1)求f(1)的值；(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f(1x)2.[解](1)令x＝y，得f(1)＝0.(2)由f(6)＝1及f(x＋3)－f(1x)2.得f[x(x＋3)]2f(6)．即f[x(x＋3)]－f(6)f(6)．亦即f[xx＋36]f(6)．因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学∴x＋30.1x0.xx＋366.解得0x－3＋3172.所以不等式的解是{xx－3＋3172}第二章函数与基本初等函数高考总复习数学求下列函数的值域(1)y＝x2x＋1；(2)y＝4－3＋2x－x2；(3)y＝x－1－2x.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解](1)(分离常数法)y＝x2x＋1＝x＋12－122x＋12＝12－122x＋1.∵122x＋1≠0∴函数的值域为{y|y≠12，y∈R}．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(2)(配方法)．由3＋2x－x2≥0.得－1≤x≤3.∵y＝4－－x－12＋4，∴当x＝1时，ymin＝4－2＝2.当x＝－1或3时，ymax＝4.∴值域为y∈[2,4]．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(3)解法一：(单调性法)．定义域为{x|x≤12}．函数y＝x与y＝－1－2x均在(－∞，12]上递增，则y＝x－1－2x在(－∞，12]上递增，故y≤12－1－2×12＝12.所以函数的值域为y∈(－∞，12]．解法二：(换元法)．令1－2x＝t.则t≥0.且x＝1－t22.∴y＝－12(t＋1)2＋1≤12.(t≥0)．∴y∈(－∞，12]．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x