2014届高三数学：二次函数与幂函数

一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域R{x|x≥0}{x|x≠0}RR12函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1值域奇偶性单调性公共点RR{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增(1,1)(－∞，0]减(0，＋∞)增(－∞，0)和(0，＋∞)减增增12二、二次函数的表示形式1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标；3．零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标．三、二次函数的图像及其性质a＞0a＜0图像定义域值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24aRR[动漫演示更形象，见配套课件]a＞0a＜0对称轴顶点坐标奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数x＝－b2a－b2a，4ac－b24aa＞0a＜0在x∈－∞，－b2a上是；在x∈－∞，－b2a上是；单调性在x∈－b2a，＋∞上是；在x∈－b2a，＋∞上是；最值当x＝－b2a时，ymin＝当x＝－b2a时，ymax＝减少的增加的增加的减少的4ac－b24a4ac－b24a[小题能否全取]1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是()A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝5x2C．f(x)＝－x2D．f(x)＝x2解析：形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数．答案：D2．(2011·陕西高考)函数y＝x13的图像是()答案：B解析：当0x1时，x13x，当x1时，x13x，知只有B符合．3．(教材习题改编)设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3答案：A解析：在函数y＝x－1，y＝x，y＝x12，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1,3.4．(教材习题改编)已知点M33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝33α，得α＝－2.故y＝x－2.答案：y＝x－25．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．解析：由题意知－a＋22＝1，a＋b＝2，得a＝－4，b＝6.则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.(2)ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.[注意]当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．[例1]已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m＝____时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？[自主解答]∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．∴m＝－1.[答案]－11．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α1时，曲线下凸；0α1时，曲线上凸；α0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是()A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1解析：由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R，当x0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.[答案]B(2)(2013·淄博模拟)若a0，则下列不等式成立的是()A．2a12a(0.2)aB．(0.2)a12a2aC.12a(0.2)a2aD．2a(0.2)a12a解析：若a0，则幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a12a0.所以(0.2)a12a2a.[答案]B[例2]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．求本例中的函数y＝f(x)在区间[－4,6]上的最小值．解：由题意f(x)＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2，对称轴是x＝－a.(1)当－a－4时，即a4时，f(x)min＝f(－4)＝16－8a＋3＝19－8a.(2)当－4≤－a≤6时，即－6≤a≤4时，f(x)min＝f(－a)＝3－a2.(3)当－a6时，即a－6时，f(x)min＝f(6)＝36＋12a＋3＝39＋12a，综上所述ymin＝19－8a，a4，3－a2，－6≤a≤4，39＋12a，a－6.解决二次函数图像与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用．尤其是给定区间上二次函数的最值问题求法．2．(1)(2013·泰安调研)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．(2)设abc0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()解析：(1)f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a1时，ymax＝a；当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；当a＜0时，ymax＝1－a.根据已知条件a＞1，a＝2或0≤a≤1，a2－a＋1＝2或a＜0，1－a＝2，解得a＝2或a＝－1.(2)若－b2a0，则ab0，从而c0，排除A，C；若－b2a0，则ab0，从而c0，可排除B，选D.答案：(1)2或－1(2)D[例3](2012·衡水月考)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．[自主解答](1)存在x∈R，f(x)bg(x)⇒存在x∈R，x2－bx＋b0⇒(－b)2－4b0⇒b0或b4.故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.①当Δ≤0，即－255≤m≤255时，则必需m2≤0，－255≤m≤255⇒－255≤m≤0.②当Δ0，即m－255或m255时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1x2)．若m2≥1，则x1≤0，即m2≥1，F0＝1－m2≤0⇒m≥2；若m2≤0，则x2≤0，即m2≤0，F0＝1－m2≥0⇒－1≤m－255.综上所述，m的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．3．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)2x＋m等价于x2－x＋12x＋m，即x2－3x＋1－m0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－10得，m－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．[典例]已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式．[解]如图所示，∵函数图像的对称轴为x＝－32，(1)当t＋1≤－32，即t≤－52时，h(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋3(t＋1)－5，即h(t)＝t2＋5t－1t≤－52.(2)当t≤－32t＋1，即－52t≤－32时，h(t)＝f－32＝－294.(3)当t－32时，h(t)＝f(t)＝t2＋3t－5.综上可得，h(t)＝t2＋5t－1，t≤－52，－294，－52＜t≤－32，t2＋3t－5，t－32.[题后悟道]1.求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定(见本节例2(1))、轴动区间定(例2的一题多变)、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．2．解答本题利用了分类讨论思想，由于区间未确定，不能判定其对称轴x＝－32是否在[t，t＋1]内，从而要分类讨论，分类讨论应遵循：(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．针对训练已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b1)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，则a＝________，b＝________.解析：g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，当a0时，g(x)在[2,3]上为增函数，故g3＝4，g2＝1⇒4a＋1＋b－a＝4，a＋1＋b－a＝1⇒a＝1，b＝0.当a0时，g(x)在[2,3]上为减函数，故g3＝1，g2＝4⇒4a＋1＋b－a＝1，a＋1＋b－a＝4⇒a＝－1，b＝3.∵b1，∴a＝1，b＝0.答案：10教师备选题（给有能力的学生加餐）1．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且