圆锥曲线第一问

圆锥曲线解答题第一问预备知识1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数2a（大于21||FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21||||2MFMFa。椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在x轴上）或12222bxay（0ab）（焦点在y轴上）。注：①以上方程中,ab的大小0ab，其中222bac；②在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221xyab知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)xy在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x，得yb，则1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即1(,0)Aa，2(,0)Aa是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段21AA、21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22RtOBF中，2||OBb，2||OFc，22||BFa，且2222222||||||OFBFOB，即222cab；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率。∵0ac，∴01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PFPFa）。注意：①式中是差的绝对值，在1202||aFF条件下；12||||2PFPFa时为双曲线的一支；21||||2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支）；②当122||aFF时，12||||||2PFPFa表示两条射线；③当122||aFF时，12||||||2PFPFa不表示任何图形；④两定点12,FF叫做双曲线的焦点，12||FF叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义1212||||2(2||)PFPFaaFF1212||||||2(2||)PFPFaaFF方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc注意：如何用方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质①范围：从标准方程12222byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。即22ax，ax即双曲线在两条直线ax的外侧。②对称性：双曲线12222byax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222byax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线12222byax的方程里，对称轴是,xy轴，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2aAaA，他们是双曲线12222byax的顶点。令0x，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2,aa叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,bb叫做双曲线的虚半轴长。④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222byax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。⑥注意191622yx与221916yx的区别：三个量,,abc中,ab不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3．抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程是2px；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0x0x0y0y对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e1e1e1e说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。oFxyloxyFlxyoFl题型分类一．求圆锥曲线的方程1.利用a,b,c,p的关系或几何意义例1.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=41x2的焦点，离心率等于552.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA=λ1AF，MB=λ2BF，求证λ1+λ2为定值.解：（I）设椭圆C的方程为)0(12222babyax，则由题意知b=1..5.55211.55222222aaaba即∴椭圆C的方程为.1522yx例2：已知椭圆．F1，F2分别为椭圆C的左，右焦点，A1，A2分别为椭圆C的左，右顶点．焦距为23且椭圆上一点为M．（1）求椭圆C的标准方程；解：（1）∵过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M．∴，b2=a2﹣c2=a2﹣3．∵点在椭圆上，∴，∴3a2﹣9+4a2=a4﹣3a2∴a4﹣10a2+9=0，∴（a2﹣9）（a2﹣1）=0，∴a2=9或a2=1＜c2（舍去）．∴b2=a2﹣c2=6．∴椭圆C的方程为．2.利用圆锥曲线的几何性质求基本量例3已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x1－643y－30－61(1)求C1，C2的标准方程；(2)过点A(m,0)作倾斜角为π6的直线l交椭圆C1于C，D两点，且椭圆C1的左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围．解(1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C1的方程为x26＋y22＝1，抛物线C2的方程为y2＝9x.3.中点弦问题例4中心在原点的椭圆C的一个焦点是F（0，50），又这个椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点的横坐标是21.（1）求该椭圆方程；解析：据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为2222bxay＝1（a＞b＞0）设直线l与椭圆C的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：221221bxay＝1，1222222bxay两式相减得：2212122121))(())((bxxxxayyyy＝0∴)()(2122122121yybxxaxxyy即3＝)1(122ba∴a2＝3b2①又因为椭圆焦点为F（0，50）∴c＝50则a2－b2＝50②由①②解得：a2＝75，b2＝25二．求轨迹和轨迹方程问题1.直接法例5．在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(2，0)，B(－2，0)，直线PA与PB的斜率之积为－12.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一定点．(1)解由题知：yx＋2·yx－2＝－12.化简得x22＋y2＝1(y≠0)．练习：已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42，又|O1A|＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.2相关点法例6已知点,AB分别是射线1:0lyxx≥，2:0lyxx≥上的动点，O为坐标原点，且OAB的面积为定值2．（I）求线段AB中点M的轨迹C的方程；（II）过点0,2N作直线l，与曲线C交于不同的两点,PQ，与射线12,ll分别交于点,RS，若点,PQ恰为线段RS的两个三等分点，求此时直线l的方程．解：（I）由题可设11,Axx，22,Bxx，,Mxy，其中120,0xx.则1212,(1)2,(2)2xxxxxy1分∵OAB的面积为定值2，∴12121122222OABSOAOBxxxx.2分22(1)(2)，消去12,xx，得：222xy．4分由于120,0xx，∴0x，所以点M的轨迹方程为222xy（x＞0）．5分3定义法★例7设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于1.AF（I）求p的值；（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点NAN，与x轴交于点.M求M的横坐标的取值范围.例8已知定圆,16)1(:22yxA圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.（I）求曲线C的方程；（II）若点),(00yxP为曲线C上一点，求证：直线01243:00yyxxl与曲线C有且只有一个交点.解：（I）圆A的圆心为4),0,1(1rA半径，设动圆M的圆心.||,,),,(22MBrryxM依题意有半