中考试题选编六——胡不归问题

建平数学教育1中考试题选编六—胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。例1.（2012崇安模拟），如图，ABC在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，22），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为-------------------------------------------------（）A.），（20B.），（220C.），（320D.），（420例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB21的最小值为。（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围。练习巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,ABC=150°,则PA+PB+PD的最小值为。2.（2015内江）如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。ADBC沙砾地带建平数学教育2（1）试说明CE是⊙O的切线。（2）若ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当21CD+OD的最小值为6时，求⊙O的AB的长。3.（2015日照）如图，抛物线nmxxy221与直线321xy交于A、B两点，交x轴于D、C两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）。（1）抛物线的函数关系式为，tan∠BAC=。（2）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由。（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？4.（2014成都）如图，已知抛物线）＞为常数，0)(4)(2(8kkxxky与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线bxy33与抛物线的另一个交点为D。（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数关系式。（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为多少时，点M在整个运动过程中用时最少？（3）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值。建平数学教育35.（2017徐州二模）二次函数cxaxy22图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，-3）。（1）a，c；（2）如图①，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PCPD2的最小值。（3）如图②，点M在抛物线上，若3MBCS△，求点M的坐标。6.（2016随州）已知抛物线）0)(1)(3(axxay，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线bxy3与抛物线的另一个交点为D。（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为。（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标。（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒332个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？xyxyM建平数学教育4图1ODCBAyx图2yxO1B1FEPCBAOH图3yxNMO3C1O2B2OCBA7.（2009北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个点的坐标分别为6,0A，6,0B，0,43C，延长AC到点D,使CD=12AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）8.（2018重庆）抛物线6x332x66y2与x轴交于点A，B（点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点。(1)如图1，连接CD，求线段CD的长；(2)如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当EC21PE的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；(3)如图3,点H是线段AB的中点，连接CH.将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2,C的对应点分别是点O3，C1.直线O3C1分别与直线AC,x轴交于点M,N.那么,在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由。建平数学教育5