17.2勾股定理逆定理(第二课时)

17.2勾股定理的逆运用（第二课时）杨旖复习引入怎样用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形?（要先找最长边计算其平方看是否等于另两边的平方和.若是则是直角三角形，反之不是．）温故知新（一）总结这上上节课学习了什么？你有什么收获？1.互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.温故知新（一）总结上上节课学习了什么？你有什么收获？3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么，这个三角形是直角三角形．4.勾股定理的逆定理应用：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方．若是则是直角三角形，反之不是．5.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数试一试下列说法中正确的是（）A.每个命题都有逆命题B.真命题的逆命题是真命题C.假命题的逆命题是假命题D.每个定理都有逆定理A巩固提升判断下列线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形（1）a=7，b=24，c=25（）（2）a=1.5，b=4，c=2.5（）（3）a=，b=1，c=（）(4）a=，b=2n，c=（）453212n)1(12nn是不是是不是小明在判断以3，4，5为边长的三角形是否为直角三角形时，这样解答：因为42＋52=41，32=942＋52≠32所以以3，4，5为边长的三角形不是直角三角形问：他的解法对吗？为什么？试一试勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边c所对的角为直角。a2+b2=c2互逆命题逆定理定理新知探究问题1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿同定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile（1）求PQ，PR的长度；（2）如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？路程、速度、时间有什么关系？路程=速度×时间.（1）PQ的长度16×1.5=24nmile，PR的长度12×1.5=18nmile；在△PRQ中，我们已经知道什么？三角形的三边.由勾股定理的逆定理判断此三角形是否是直角三角.（2）∵PQ=24，PR=18，RQ=30∴PQ2+PR2=576+324=900，RQ2=900，∴RQ2=PR2+PQ2，∴∠RPQ=90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴“海天”号沿西北方向（或北偏东45°）航行.总结提升勾股定理的逆定理实际应用已知三边求角，常利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形.判断时，先找出最大边并计算其平方和另两边的平方和，看是否相等，如果相等即为直角三角形，否则不是直角三角形.新知探究问题2如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．已知条件中，有多条线段的长度，且∠B=90°，我们可以怎么样？连接AC,利用勾股定理可求AC.△ABC是等腰直角三角形，于是可求∠BAC=45°.△ACD的三边知道，我们可以由勾股定理的逆定理判断是直角三角形.解：如右图所示，连接AC，∵∠B=90°，AB=BC=2，∴AC==2，∠BAC=45°，又∵CD=3，DA=1，∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，∴AC2+DA2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．故∠DAB的度数为135°．总结提升勾股定理与勾股定理的逆定理：勾股定理是直角三角形的性质，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定.解题时：已知直角三角形的两边可以考虑勾股定理求第三边，已知三角形的三边可以考虑用勾股定理的逆定理判断三角形是否直角三角形.新知探究问题3我们把满足的一组正数，叫做“勾股数”，请写出一组勾股数．222a+b=c勾股数⑴常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41等等；⑵在解决实际问题或在数学应用时，往往能简化运算，较快地估计出计算结果．看谁说得多！它们的整数倍也是勾股数已知3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k为正整数）也是一组勾股数吗?已知a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k为正整数）也是一组勾股数吗?是,32+42=52(3k)2+(4k)2=(32+42)k2=(5k)2是,a2+b2=c2(ak)2+(bk)2=(a2+b2)k2=(ck)2典例剖析例1如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积．分析连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．解：如图，连接AC．在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米，又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积=S△ABC﹣S△ACD=×5×12﹣×3×4=24（平方米）．点评本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．巩固提升1.如图，在△ABC中，AB=15，AC=20，BC=25，AD是BC边上的高，（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AD的长．解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：∵AB=15，AC=20，BC=25∴AB2+AC2=625，∵BC2=625，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形；巩固提升（2）∵S△ABC=AB×AC=AD×BC，∴×15×20=×AD×25，∴AD=12．常用等面积法求直角三角形斜边上的高.巩固提升2.如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？巩固提升解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+DB•BC，=×4×3+×12×5=36．所以需费用36×200=7200（元）．巩固提升解：（1）AB==2，BC==，AC==5，△ABC的周长=2++5=3+5，（2）∵AC2=25，AB2=20，BC2=5，∴AC2=AB2+BC2，∴∠ABC=90°．3.如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC=90°．总结结课（一）总结这节课学习了什么？你有什么收获？1.勾股定理的逆定理应用：已知三边求角，常利用勾股定理的逆定理.2.勾股定理与勾股定理的逆定理：勾股定理是直角三角形的性质，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定.解题时，已知直角三角形的两边可以考虑勾股定理求第三边，已知三角形的三边可以考虑用勾股定理的逆定理判断三角形是否直角三角形.3.勾股数.课后作业1.课本P3417.23，4，5，6练习本上。2.小练P143.新课程P33练习二