小升初专项训练-第三讲几何篇(2)【学生版】

冲刺静海汇才造就精英人才家教中心独家倾心推出精英班系列辅导第23页辅导地址：天津市静海县城兰海小区东北角高层1号楼102联系电话：1382112707015522807396第二讲小升初专项训练几何篇（二）一、小升初考试热点及命题方向圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面。因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。二、2013年考点预测2013年的小升初考试如果考察圆与立体几何，不会难度太大，只需掌握我们本讲中所介绍的几类基本题型，就可成功在握。考试热点将会出现在诸如水位问题和三维视图问题等题型。三、典型例题解析1与圆和扇形有关的题型【例1】（★★）如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。【解】：等腰三角形的角为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。而扇形面积为等腰三角形面积：S＝1/2×10×10＝50。则：圆的面积为400。【例2】（★★★）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？【解】：（此题十分经典）如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！冲刺静海汇才造就精英人才家教中心独家倾心推出精英班系列辅导第24页辅导地址：天津市静海县城兰海小区东北角高层1号楼102联系电话：1382112707015522807396所以羊活动的范围是【例3】（★★）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。【解】：我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解。左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形。则为：π/4×4×4－π/4×2×2－4×2＝3×3.14－8＝1.42。【例4】（★★★）如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。（取π＝3）【解】：先看总的面积为1/4的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，然后扣除一个等腰直角三角形，一个1/4圆，一个45度的扇形。那么最终效果等于一个正方形扣除一个45度的扇形。为1×1－1/8×3×1＝5/8【例5】（★★★）如下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，【解】：225平方厘米冲刺静海汇才造就精英人才家教中心独家倾心推出精英班系列辅导第25页辅导地址：天津市静海县城兰海小区东北角高层1号楼102联系电话：1382112707015522807396＝225（平方厘米）与立体几何有关的题型小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。2求不规则立体图形的表面积与体积【例6】（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【解】：冲刺静海汇才造就精英人才家教中心独家倾心推出精英班系列辅导第26页辅导地址：天津市静海县城兰海小区东北角高层1号楼102联系电话：1382112707015522807396[方法一]：[思路]：整体看待面积问题。解：不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1，所以，总计9×2+7×4=18+28=46。[方法二]：[思路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=64，但总共粘合了18个面，这样就减少了18×1=18，所以剩下的表面积是64-18=46。[方法三]：直接数数。[思路]：通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1，这样总共的表面积就是46。【例7】（★★★）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．【解】：提示：大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积。6个小洞内新增加面积的总和：1×1×4×6＝24（平方厘米），原正方体表面积：42×6＝96（平方厘米），挖洞后木块表面积：96＋24＝120（平方厘米），体积：43－13×6＝58（立方厘米）．答：挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米．【例8】（★★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？冲刺静海汇才造就精英人才家教中心独家倾心推出精英班系列辅导第27页辅导地址：天津市静海县城兰海小区东北角高层1号楼102联系电话：1382112707015522807396【解】：[方法一]：[思路]：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去是都还是面积不变的，特别是从上往下看是，3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自侧面。解：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，增加的面积1×4+(21×21)×4+(41×41)×4，所以总共面积为24+1×4+(21×21)×4+(41×41)×4=2941[方法二]：[思路]：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后，原大正方体的顶部表面被掉了一个1×1的小正方形，但是内部增加了5个1×1的面，所以总共增加了4个1×1的面，即正方形小洞的4个侧面-同样，再往下挖掉一个边长为21的正方体后，大正方体的表面积又增加4个21×21的小正方形的面积.最后挖掉一个边长为41厘米的正方体后，大正方体的表面积又增加了4个41×41的小正方体的面积.所以最终大正方体的表面积=24+1×4+(21×21)×4+(41×41)×4=2941[总结]：立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以看成相连的，这就要求学生必须学会如何看待面积的变化。3水位问题【例9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？分析由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）．62.172立方厘米＝62.172毫升＝0.062172升．答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0．062172升．冲刺静海汇才造就精英人才家教中心独家倾心推出精英班系列辅导第28页辅导地址：天津市静海县城兰海小区东北角高层1号楼102联系电话：1382112707015522807396【例10】（★★）一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有21容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米2厘米3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？【解】：所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：（10×10×15）÷（2×2×3）=125（块）.4计数问题【例11】（★★★★）右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？【解】：正方体只可能有两种：由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。所以共有正方体22＋4=26（个）。由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。【例12】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？【解】：设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3。一个甲种木块的体积是1*1*1=1；一个乙种木块的体积是2*2*2=8；一个丙种木块的体积是3*3*3=27。3+2=5。则这三种木块拼成的最小正方体的棱长是5。体积是5*5*5=125。需要丙种木块1块，乙种木块1+1*2+2*2=7块。甲种木块的体积是27，乙种木块的体积是8*7=56。125-27-56=42。需要甲种木块42/1=42块。1+7+42=50块。5三维视图的问题【例13】现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。冲刺静海汇才造就精英人才家教中心独家倾心推出精英班系列辅导第29页辅导地址：天津市静海县城兰海小区东北角高层1号楼102联系电话：1382112707015522807396例：【解】：立体图形的形状如下图所示。（此题十分经典）从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2；从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2；隐藏着的面积有2cm2。一共有18＋16＋12＋2＝48（cm2）。6其他常考题型【例14】（★★★）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？【解】：由于纸盒无盖，所以一个竖式纸盒有一个正方形和4个长方形，一个横式纸盒有2个正方形和3个长方形，那么一个竖式纸盒和两个横式纸盒共有5个正方形和10个长方形，这时所用的正方形纸板与长方形纸板的比恰是1∶2，也就是说按照每做一个竖式纸盒，再做两个横式纸盒的比例做纸盒，就可以把两种不同形状的纸板用完.因此，在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2.【例15】左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。【解】：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。冲刺静海汇才造就精英人才家教中心独家倾心推出精英班系列辅导第30页辅导地址：天津市静海县城兰海小区东北角高层1号楼102联系电话：1382112707015522807396（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上。边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。连好线的图形如右上图小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）与圆和扇形有关的题型。参见例1，2，3，4，52）求不规则立体图形的表面积与体积。参