必修二3.2直线的方程

直线的方程3.2主要内容3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程3.2.1直线的点斜式方程直线的点斜式方程3.2.1我们知道给出直线的两个因素，直线就能够确定，即将直线放在直角坐标系中就能够确定其方程。在直角坐标系中如果给出直线上一点和斜率，我们已经研究了其方程表示。如果给出两点，那么直线也就确定了，那么如何表示其方程呢？111222P(,),P(,)xyxy12PP问题一在平面直角坐标系内，如果给定一条直线经过的一个点和斜率，能否将直线上所有的点的坐标满足的关系表示出来呢？000,yxPlkyx,xyOl，00xxyyk00xxkyy即：xyOl点斜式方程点斜式方程直线经过点，且斜率为,设点是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得：000,yxPkyxP,0PlklP（1）过点，斜率是的直线上的点，其坐标都满足方程吗？00xxkyy000,yxPkl（2）坐标满足方程的点都在过点斜率为的直线上吗？00xxkyy000,yxPkl上述两条都成立，所以这个方程就是过点斜率为的直线的方程．k000,yxPl00xxkyy点斜式方程局限性：只适用于斜率存在的情形。x00yy0yy，或xyOll的方程就是（1）轴所在直线的方程是什么？当直线的倾斜角为时，即．这时直线与轴平行或重合，ll000tanx000tanl000tanxl000tan000tanl000tanxl000tan（2）轴所在直线的方程是什么？y00xx0xx，或当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，这时,直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．这时，直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程就是ll90ly0xxyOl例1直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角为600,求直线l的点斜式方程，并画出直线l.P0Pxyo练习1：根据下列条件，分别写出方程；（1）经过点（4，-2），斜率为3；（2）经过点（3，1），斜率为1/2；（3）经过点（2，3），倾斜角为；（4）经过点（2，5），倾斜角为；（5）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7；000903x-y-14=0x/2-y-1/2=0y-3=0X-2=02x-y+14=0上一页如果直线的斜率为，且与轴的交点为得直线的点斜式方程，lyk0xkbyb,0也就是：bkxyxyOlb我们把直线与轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距。y该方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.y直线的斜截式方程截距的值是实数，它是坐标值，不是距离方程与我们学过的一次函数的表达式类似．我们知道，一次函数的图象是一条直线．你如何从直线方程的角度认识一次函数？一次函数中和的几何意义是什么？bkxybkxykb你能说出一次函数及图象的特点吗？xyxy3,123xy直线的斜截式方程斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情形。练习2：根据下列条件，分别写出方程；（1）在Y轴上的截距为-2，斜率为3；（2）在Y轴上的截距为5，斜率为1/2；（3）在Y轴上的截距为1，倾斜角为；（4）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7；00上一页例2已知直线，试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？21//ll222111::bxkylbxkyl，21ll解：（1）若，则，此时与轴的交点不同，即；反之，，且时，．21//ll21kk21ll，y21bb21kk21bb21//ll（2）若，则；反之，时，．21ll121kk121kk21ll典型例题例3求下列直线的方程:（1）经过点A(-1，2)，且与直线y=3x+1垂直；（2）斜率为-2，且在x轴上的截距为5.例4已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.1.直线的点斜式方程：2.直线的斜截式方程:00xxkyybkxy小结000yyyy或000xxxx或①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°3.特殊情况作业P95练习：1，2，3，4P100习题3.2A组：1，5，6，10.y=kx+by-y0=k(x-x0)复习巩固1).直线的点斜式方程：3).直线的斜截式方程：k为斜率，P0(x0,y0)为经过直线的点k为斜率，b为截距一、复习、引入和垂直于坐标轴的直线0)2yy例3求下列直线的方程:（1）经过点A(-1，2)，且与直线y=3x+1垂直；（2）斜率为-2，且在x轴上的截距为5.热身:1.已知点A(-2,1),(1)求经过点A且平行于x轴的直线L1方程?(2)求经过点A且平行于直线2y=6x-10的直线L2方程?(3)求经过点A且垂直于直线y=-x+2的直线L3方程?2、求倾斜角为135度，在Y轴上的截距为-9的直线L4的方程?3.2.2直线的两点式方程已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x1x2,y1y2),如何求出这两个点的直线方程呢？经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程.可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.两点式方程xylP2(x2，y2)2121yykxx211121()yyyyxxxx两点式P1(x1，y1)112121yyxxyyxx00()yykxx代入得斜率根据两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，这就是经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线方程，简称两点式记忆特点：左边全为y，右边全为x两边的分母全为常数分子，分母中的减数相同112121yyxxyyxx两点式若点P1（x1,y1），P2（x2,y2）中有x1＝x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是什么？当x1＝x2时方程为：x＝x１当y1=y2时方程为：y=y１112121yyxxyyxx1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程.(1)P(2，1)，Q(0，-3)(2)A(0，5)，B(5，0)(3)C(-4，-5)，D(0，0)123102yx23yx500550yx5yx005040yx54yx课堂练习：截距式方程xylA(a，0)截距式B(0，b)解：代入两点式方程得化简得1xyab横截距纵截距已知直线经过点A（a，0），B（0，b），a0，b0，求直线方程aaxby0001、截距不是距离，2、截距可能是正数,负数和零注意：直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距截距式直线方程:直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距xlB(0，b)A(a，0)截距式方程：1xyab注意：1、等式的右边是常数1，2、等式的左边x、y前的系数都为1，此时的a和b才是横截距和纵截距说出在坐标轴上的截距1,5yx41310xy246xyx轴上的截距是3y轴上的截距是10x轴上的截距是4y轴上的截距是-5x轴上的截距是8y轴上的截距是122.根据下列条件求直线方程（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；由截距式得：整理得：123xy3260xy由截距式得：整理得：156xy65300xy3.已知直线mx+ny+12=0在x,y轴上的截距分别是-3和4,求m,n的值4,3mn中点坐标公式已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则线段P1P2的中点P0(x,y)的坐标是什么？xyA(x1，y1)B(x2，y2)中点121222xxxyyyP0的坐标为例1:已知角形的三个顶点是A(－5，0)B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程。解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：整理得：5x+3y-6=0这就是BC边所在直线的方程。五、直线方程的应用BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：即整理得：x+13y+5=0这就是BC边上中线所在的直线的方程。过A(-5,0),M的直线方程MM过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?解:⑴两条例2:那还有一条呢？y=2x(与x轴和y轴的截距都为0)所以直线方程为：x+y-3=0a=3把(1,2)代入得：设直线的方程为:解：三条变式：过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?解得：a=b=3或a=-b=-1直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x设直线方程小结两点坐标两点式点斜式两个截距截距式1xyab112121yyxxyyxx00()yykxxP97练习：1，2.P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.作业1.求经过点P(0，3)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程.22643例、求过点，和，的直线，截坐标轴所成三角形的面积为多少？0xyab623642yx解：直线方程为即：2y-12=3x-6即：3x-2y=-612312332xyS即：2.求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.Pxyo3.2.3直线的一般式方程直线方程两点坐标两点式点斜式两个截距截距式y=kx+b斜截式方程以上我们介绍了直线方程的几种特殊形式，它们都是关于x和y的二元一次方程，那么，关于x和y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示直线吗？1.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？2.每一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？讨论1.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于X，y的二元一次方程2.经过点P（x0,y0)且斜率不存在的直线的方程：x-x0=0可以看成y的系数为0的二元一次方程.3.对于二元一次方程Ax+By+C=0（A,B不全为零）BCxBAy1）当B0时可化为表示经过点（0，），斜率k为的直线.BABC2)当B=0时，A0，方程可化为ACx表示垂直于x轴的直线.直线的一般式方程（其中A，B不同时为0）0AxByC1.所有的直线都可以用二元一次方程表示2.所有二元一次方程都表示直线此方程叫做直线的一般式方程例1：求直线3X+5Y-15=0的斜率以及它在坐标轴上的截距，并作图。例2：设直线l的方程为：根据下列条件分别确定m的值：（1）直线l在x轴上的截距是-3;(2)直线l的斜率是1。22(23)(21)260(1)mmxmmymm例3已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.在方程中，A,B,C为何值时，方程表示的直线1）平行于X轴，2）平行于Y轴，3）与X轴重合，4）与Y轴重合两条直线平行和垂直的条件1111:0lAxByC2222:0lAxByC11112222//ABCllABC1212120llAABB平行垂直重合212121CCBBAA例4已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，求a的值.例5已知直线l1：x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.小结点斜式00()yykxx斜率和一点坐标斜截式ykxb斜率k和截距b两点坐标两点式点斜式两个截距截距式1xyab112121yyxxyyxx00()yykxx一般式0AxByCy-y1=k(x-x1)（1）这个方程是由直线上一点和斜率确定的（2）当直线l的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1(3)当直线倾斜角90°时，直线没有斜率，方程式不能用点斜式表示