排列组合之计数原理

排列-组合之计数原理高考数学复习专题第一部分内容概览两个计数原理:1.分类加法计数原理；2.分步乘法计数原理.P1第二部分知识建构1．分类加法计数原理完成一件事有k类不同方案，在第1类方案中有1m种不同的方法，在第2类方案中有2m种不同的方法，...，在第k类方案中有km种不同的方法；那么完成这件事共有N＝kmmm...21种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要k个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，...，做第k步有km种不同的方法；那么完成这件事共有N＝kmmm...21种不同的方法．Ⅰ.两个计数原理P23．两个计数原理的比较名称分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是解决完成一件事的不同方法的种数问题不同点运用加法运算运用乘法运算完成一件事分为k类方法，并且每类方法中的每一种都能独立完成这件事情；“类”与“类”之间具有独立性和并列性．分类计数原理可类比电路的“并联”关系.完成一件事分为k个步骤，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，“步”与“步”之间具有依赖性和连续性．分步计数原理可类比电路的“串联”关系.P3第三部分问题特征计数原理应用问题特征分类加法计数原理应用问题特征：(1)完成一件事有n类方法，每一类中可有不同的方法．(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事．(3)完成这件事的所有方法数：运用加法原理．分步乘法计数原理应用问题特征：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．(2)完成每一步可有若干种不同方法．(3)完成这件事的所有方法数：运用分步乘法原理．P4两个计数原理的应用问题-类型与探究知识考点一：分类加法计数原理【题例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有______个．【解析】法一：按个位数字分类，个位可为2,3,4,5,6,7,8,9，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个两位数．法二：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数．[答案]36P5两个计数原理的应用问题-类型与探究知识考点一：分类加法计数原理【题例2】若椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．[解析]当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m＝2时，n＝3,4,5,6,7，共5个；当m＝3时，n＝4,5,6,7，共4个；当m＝4时，n＝5,6,7，共3个；当m＝5时，n＝6,7，共2个．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.答案:20P6两个计数原理的应用问题-类型与探究知识考点一：分类加法计数原理【题例3】如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．[解析]分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O2种不同的走法．由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．[答案]5P7两个计数原理的应用问题-类型与探究分类加法计数原理应用方法归纳(1)分类计数原理运用了分类讨论思想.(2)分类原则：确定合适的分类标准；分类标准要统一；分类须不重复、不遗漏．(3)分类计数原理中的每一类相互独立，每一类中的任何一种方法都可完成这件事．P8两个计数原理的应用问题-类型与探究知识考点二：分步乘法计数原理【题例1】从－1,0,1,2这四个数中选三个数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．[解析]一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18个二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同理可知共有3×2＝6个偶函数．[答案]186P9两个计数原理的应用问题-类型与探究知识考点二：分步乘法计数原理【题例2】如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．[解析]因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，故电路连接或断开的情况共有：26＝64种情况；而其中只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．[答案]63P10两个计数原理的应用问题-类型与探究分步乘法计数原理应用方法归纳(1)利用分步乘法计数原理注意：事件解决的过程需要合理分步，而分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．P11两个计数原理的应用问题-类型与探究知识考点三：两个计数原理综合应用在实际问题的解决过程中，通常非单一的分类或分步，而可能是两个计数原理的综合应用；即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键：①分类标准确定且统一；②分类原则做到“不重复不遗漏”；分步的关键：①分步的程序设计正确且简捷；②明确分步的顺序与种类；两个原理综合运用时做到：合理分类，准确分步．P12两个计数原理的应用问题-类型与探究P13两个计数原理的应用问题-类型与探究P14两个计数原理的应用问题-类型与探究两个计数原理的应用问题-类型与探究计数原理应用问题计数原理应用问题计数原理应用问题计数原理应用问题计数原理应用问题计数原理应用问题THANKS