2.2.2用样本数字特征估计总体数字特征(第2课时)

２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征第二课时知识探究（二）：标准差样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？77乙甲，xx77乙甲，xx思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？环数频率0.40.30.20.145678910O（甲）环数频率0.40.30.20.145678910O（乙）甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定.思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？12||||||nxxxxxxn-+-++-L思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为s，则标准差的计算公式是：22212()()()nxxxxxxsn-+-++-=L那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？s≥0，标准差为0的样本数据都相等.思考5：对于一个容量为2的样本：x1，x2(x1x2)，则,在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？122xxx+=212xxs-=标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.知识补充1.标准差的平方s²称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.3.对于城市居民月均用水量样本数据，其平均数，标准差s=0.868.在这100个数据中，落在区间（-s，+s）=[1.105，2.841]外的有28个；落在区间（-2s，+2s）=[0.237，3.709]外的只有4个；落在区间（-3s，+3s）=[-0.631，4.577]外的有0个.1.973x=xxxxxx一般地，对于一个正态总体，数据落在区间（-s，+s）、（-2s，+2s）、（-3s，+3s）内的百分比分别为68.3%、95.4%、99.7%，这个原理在产品质量控制中有着广泛的应用（参考教材P79“阅读与思考”）.xxxxxx例题分析例1画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点.(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；O频率1.00.80.60.40.212345678（1）50xs==O频率1.00.80.60.40.212345678（2）50.82xs==(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.频率1.00.80.60.40.212345678O（3）51.49xs==1.00.80.60.40.2（4）频率12345678O52.83xs==例2甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm）：甲：25.4625.3225.4525.3925.3625.3425.4225.4525.3825.4225.3925.4325.3925.4025.4425.4025.4225.3525.4125.39乙：25.4025.4325.4425.4825.4825.4725.4925.4926.3625.3425.3325.4325.4325.3225.4725.3125.3225.3225.3225.48从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？25.401x»甲25.406x»乙0.037s»甲0.068s»乙甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故甲生产的零件质量较高.说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差.2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是总体的平均数.例3以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550分，若某同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？要点：（1）查往年录取的新生的平均分数.若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考；（2）查往年录取的新生高考总分的标准差.若标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考.例4在去年的足球甲A联赛中，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4.你认为下列说法是否正确，为什么？（1）平均来说甲队比乙队防守技术好；（2）乙队比甲队技术水平更稳定；（3）甲队有时表现很差，有时表现又非常好；（4）乙队很少不失球.例5有20种不同的零食，它们的热量含量如下：110120123165432190174235428318249280162146210120123120150140（1）以上20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差；（2）设计一个适当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本，计算样本的平均数和标准差.（1）总体平均数为199.75，总体标准差为95.26.（1）以上20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差；（2）设计一个适当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本，计算样本的平均数和标准差.（2）可以用抽签法抽取样本，样本的平均数和标准差与抽取的样本有关.小结1.对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由此可见抽样方法的重要性.2.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，如从一个包含6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本就有20中可能抽样，因此样本的数字特征也有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有惟一答案.3.在实际应用中，调查统计是一个探究性学习过程，需要做一系列工作，我们可以把学到的知识应用到自主研究性课题中去.作业：P81习题2.2A组：6，7.B组：1.