函数最值的十三种求解方法[2]

函数最值的十三种求解方法[摘要]求函数最值问题是中学数学中的重要课题，也是中高考或数学竞赛中的热点问题之一。它具有较强的的灵活性和技巧性。在解决实际问题中有着广泛的应用，其涉及的知识面广，方法也因题而异，但是对培养学生思维的敏捷性和深刻性有着重要的作用。有些求函数最值的问题我们可以用不同的方法来求解出来。[关键字]函数；最值问题；中高考；求解方法Functionmostvalue13solutionsmethodTheNeo-Confucianismandtheinformationscience03progressionsstudyandappliedmathematicsWangLi005Instructsteacher:PengNasheng[Abstract]asksthefunctionmostvaluequestionisinthemiddleschoolmathematicsimportanttopic,alsoisthecollegeentranceexaminationoroneofinmathematicscompetitionhottopics.Ithasastrongerflexibilityandskillful.Hasthewidespreadapplicationinthesolutionactualproblem,itinvolvestheaspectofknowledgeisbroad,methodalsobecauseoftopicbutdifferent,buttoraisesthestudentthoughttheagilityandprofoundhasthevitalrole.Somewhatasksthefunctionmostvaluethequestionwetobeallowedtousedifferentmethodtosolve.[Essentialcharacter]function;Mostvaluequestion;Collegeentranceexamination;Solutionmethod引言：随着素质教育不断推进和教学改革的不断深入，不仅要求学生学会书本知识，重要的是引导学生学以致用，能解决实际问题。求函数最值问题是中学数学中的重要课题，也是高考或数学竞赛中的热点问题之一。它具有较强的的灵活性和技巧性。在解决实际问题中有着广泛的应用，其涉及的知识面广，方法也因题而异，但是对培养学生思维的敏捷性和深刻性有着重要的作用。有些求函数最值的问题我们可以用不同的方法来求解出来。因此，求函数的最值问题是出题的热点，它常用来考查学生综合运用知识的能力。对于函数最值问题，本文介绍十三种常见的求解方法。一、消元法求函数最值例1设2x+2y2，求),(yxf|2xxy22y|最大值。分析与解目标函数),(yxf含有两个变元，不容易直接求解。不妨转换一下思路，可以采取消元的方法，从而简化问题。设cosrx，sinry，02π，由题设知|r|2故),(yxf|2xxy22y|=|2r2cos22r22sincossinr|=2cos(|22r222|)42r由此例可知:在求某些条件函数最值问题时,如果条件与目标函数含有多个变元，不妨想办法消元,使目标函数转化为一个或两个变元的最值问题,这样就比较容易求解了。二、数形结合法求函数最值例2若实数yx,满足5||||yx，试求xyxt222的最值。分析与解从条件与目标函数来看，两者都可用函数的图象表示，这样代数问题就有比较清晰的几何意义，从而解决问题相对比较简单。很容易画出5||||yx的图像如右图所示而目标函数xyxt222可写为1)1(22tyx，把t看作参数，它表示一个同心圆簇，1t表示圆的半径，显然t与1t同时达到最值，即35162maxt，71)22(2mint由此例可以看出：在求某些条件函数最值时，可以数形结合，利用几何意义来求解。三、配方法求函数最值对于一些可以化为一元二次函数的最值问题，可以先进行配方，再利用函数的定义域求解。例3设,62,0,yxyx求yxyxyxz363422的最值。解026xy，且0x30x将026xy代入z中得227)23(2186222xxxz当]3,0[23x时，z取最小值827又18)3()0(ff，所以z取最大值18。四、判别式法求函数最值有些函数经过适当变形后，可以整理为)0(02acbxax的形式，根据x是实数，因而可以用判别式法求最值，但是要注意把变形过程中函数值域扩大（或缩小）的部分去掉（或找回）。例4求函数432xxy的最值。解042x定义域为R，原式化为0432yxyx0y，此二次方程有实根。01692y即4343y。又当0y时，0x，即]43,43[0,0yxy的最大值为43，最小值为43。五、换元法求函数最值对于某些函数的最值，可以采用换元方法将解析式化简，从而求出最值，有时也可以利用三角代换来巧妙的求解。例5求函数xxy212的最值。解令)21,0(21xttx212tx4545)21(122ttty当21t时，即83x时，y取得最大值45，没有最小值。六、导数法求函数最值利用求导的方法把函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最值。例6求函数242xxy的值。解函数的定义域为221241)2()4(211'],2,2[xxxxy令,02y解得2x。当x变化时，yy,2的变化情况如下表：由此知y的最大值为222，最小值为4。七、利用二次函数的性质求函数最值例7设,,Ryx且1||||21yx，求22yxyx的最大值和最小值。分析与解此类问题中并没有给出yx,的确切的符号，首先要进行分类讨论，再用二次函数的性质求出最值。（1）当0,0yx时，21,12xyyx，所以22yxyx=73)74(47)21()21(222xxxxx由021xy，,0x得20x。于是问题转化为在上求上述二次函数的最值。所以，当75,74yx时，22yxyx取最小值73；当0,2yx时，22yxyx取最大值4。（2）当0,0yx时，21,12xyyx所以22yxyx=143)21()21(222xxxxx此时，,02x所以，当1,0yx时，22yxyx取最小值1；当0,2yx时，22yxyx取最大值4。（3）当0,0yx时，可以得出与（1）一样的结果；当0,0yx时，可以得出与（2）一样的结果。因此，所求的最大值为4，最小值为73。结束语总之，求函数的最值有很多的方法，为了不给我们的解决问题带来麻烦，就要真正弄懂这些方法，学以致用，关键是把书本知识灵活的转化为解决实际问题的能力。还应该重视转化与变换、数形结合、导数以及线性规划等解题思想，为今后的学习奠定良好的基础。参考文献：[1]郭要红，戴普庆.中学数学研究[M].合肥:安徽大学出版社.2003[2]陈传理,张同君.竞赛数学教程[M].高等教育出版社.1996[3]陈克胜.高等函授学报(自然科学版).2006[4]高等数学释疑解难.高等教育出版社[5]曹玉林.青海师范大学民族学院学报.2002[6]亚东生.新编高等数学题解.华中理工大出版社[7]李老全等著.数学分析解题方法.东北师大出版社[8]赵振威等著.初等代数研究.华东师大出版社[9]于勇.辽宁教育行政学院学报.2004[10]沈杰.高中数学教与学.第10期[11]陈国锋.数学教学通讯.2003.6